TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢPKHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊI. KIẾN THỨC CẦN NHỚ f [x]=mlà phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f [ x ], y = m. Số nghiệm của phươngtrình bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f [ x ] , y = m. f [x] = g [x] là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f [x], y = g [x]. Số nghiệm củaphương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f [x], y = g [x].II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f [ x ] để tìm số nghiệm thuộc đoạn a ; b của phương trìnhc. f [ g [ x ] ] + d = m , với g[x] là hàm số lượng giác. Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f [ x ] để tìm số nghiệm thuộc đoạn a ; b của phương trìnhc. f [ g [ x ] ] + d = m , với g[x] là hàm số căn thức, đa thức, … Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f [ x ] để tìm số nghiệm thuộc đoạn a ; b của phương trìnhc. f [ g [ x ] ] + d = m , với g[x] là hàm số mũ, hàm số logarit. Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f [ x ] để tìm số nghiệm thuộc đoạn a ; b của phương trìnhc. f [ g [ x ] ] + d = m , với g[x] là hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.III. BÀI TẬP MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCÂU 46 - ĐỀ MINH HỌA TỐT NGHIỆP THPT 2020 MÔN TOÁNĐề bài: Cho hàm số f [ x ] có bảng biến thiên như sau: 5 Số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f [ sin x ] = 1 là 2A. 7 .B. 4 .C. 5 .D. 6 .Trang 11. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f [ x ] để tìm số nghiệm thuộcđoạn a ; b của PT c. f [ g [ x ] ] + d = m .2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:Số nghiệm thuộc đoạn a ; b của PT f [ t ] = k là số giao diểm của đồ thị y = f [ t ] và đường thẳngy = k với t a ; b [ k là tham số].3. HƯỚNG GIẢI:B1: Đặt ẩn phụ t = g [ x ] . Với x a ; b t a ; b.B2: Với c. f [ g [ x ] ] + d = m f [ t ] = k .B3: Từ BBT của hàm số y f [x] suy ra BBT của hàm số y f [t] để giải bài toán số nghiệm thuộcđoạn a ';b ' cúa phương trình f [t] k.4. LỜI GIẢI CHI TIẾT:Chọn CĐặt t = sin x, t −1;1 thì PT f [ sin x ] = 1 [1] trở thành f [ t ] = 1 [ 2 ] .BBT hàm số y = f [ t ] , t −1;1 :Dựa vào BBT ta có số nghiệm t −1;1 của PT [1] là 2 nghiệm phân biệt t1 [ −1;0 ] , t2 [ 0;1] .Quan sát đồ thị y = sin x và hai đường thẳng y = t1 với t1 [ −1;0 ] và y = t2 với t2 [ 0;1] . 5 + Với t1 [ −1;0 ] thì PT sin x = t1 có 2 nghiệm x 0; . 2 5 + Với t2 [ 0;1] thì PT sin x = t2 có 3 nghiệm x 0; . 2 Trang 2 5 Vậy số nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình f [ sin x ] = 1 là 2 + 3 = 5 nghiệm. 2IV. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Mức độ 3Câu 1.Cho hàm số y = f [ x ] có đồ thị như hình dưới đây:Số nghiệm thuộc khoảng [ 0; ] của phương trình f [ sin x ] = −4 làA. 0 .B. 1 .C. 2 .D. 4 .Lời giảiChọn Csin x = [ −1;0 ]Xét phương trình: f [ sin x ] = −4 sin x = [ 0;1]Vì x [ 0; ] sin x [ 0;1 . Suy ra với x [ 0; ] thì f [ sin x ] = −4 sin x = [ 0;1] . Vậyphương trình đã cho có 2 nghiệm x [ 0; ] .Câu 2.Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênvà có bảng biến thiên như sau:Trang 3Phương trình f [ cos x ] =13có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng3A. 0 .B. 1 .C. 2 . − ; ? 2 2D. 4 .Lời giảiChọn C Đặt t = cos x , x − ; t [ 0;1 . 2 21313Phương trình f [ cos x ] =trở thành f [ t ] = .3313có đúng một nghiệm t [ 0;1] .3Với một nghiệm t [ 0;1] , thay vào phép đặt ta được phương trình cosx = t có hai nghiệm phânDựa vào bảng biến thiên trên ta có phương trình f [ t ] = biệt thuộc thuộc khoảng − ; . 2 2Vậy phương trình f [ cos x ] =Câu 3.13có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng3 − ; . 2 2Cho hàm số y = f [ x ] có đồ thị như hình vẽ sau:Số nghiệm của phương trình f [ 2sin x ] = 1 trên đoạn 0; 2 làA. 1 .B. 2 .C. 3 .Lời giảiD. 4 .Chọn CĐặt t = 2sin x , t −2; 2 .Xét phương trình f [ t ] = 1 , dựa vào đồ thị ta thấy:Trang 4ttf [t ] = 1 tt= −3 [ l ]= −2= −1=5[ n ] 2 sin x = −2 sin x = −11.[ n ] 2sin x = −1 sin x = −2[l ]Với sin x = −1 x = −3+ k 2 , x 0; 2 x =.22x = − + k 211 716Với sin x = − , x 0; 2 x =,.662 x = 7 + k 26Vậy phương trình f [ 2sin x ] = 1 có 3 nghiệm trên đoạn 0; 2 .Câu 4.Cho hàm số f [ x ] có đồ thị như hình vẽ như sau:y-11Ox-1-2 3Số nghiệm thuộc đoạn − ; 2 của phương trình 3 f [ cos x ] + 5 = 0 là 2A. 4 .C. 6 .B. 7 .D. 8 .Lời giảiChọn Bcos x = a [ −2; − 1]5 cos x = b [ −1;0 ]Ta có 3 f [ cos x ] + 5 = 0 f [ cos x ] = − 3cos x = c [ 0;1]cos x = d [1; 2 ]Vì cos x −1;1 nên cos x = a [ −2; − 1] và cos x = d [1; 2 ] vô nghiệm. 3Xét đồ thị hàm số y = cos x trên − ; 2 . 2Trang 5Phương trình cos x = b [ −1;0 ] có 4 nghiệm phân biệt.Phương trình cos x = c [ 0;1] có 3 nghiệm phân biệt, không trùng với nghiệm nào của phươngtrình cos x = b [ −1;0 ] . 3Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; 2 . 2Câu 5.Cho hàm số f [ x ] có bảng biến thiên như sau:Số nghiệm thuộc đoạn − ; của phương trình 3 f [ 2sin x ] + 1 = 0 làA. 4 .B. 5 .C. 2 .D. 6.Lời giảiChọn AĐặt t = 2sin x . Vì x − ; nên. t −2; 2 .1 3 f [t ] + 1 = 0 f [t ] = − .3Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f [ t ] = −Suy ra sin x =1có 2 nghiệm t1 [ −2;0 ] và t2 [ 0; 2 ] .3t1t [ −1; 0 ] và sin x = 2 [ 0;1] .22➢ Với sin x =t1 [ −1; 0 ] thì phương trình có 2 nghiệm − x1 x2 0 .2➢ Với sin x =t2 [ 0;1] thì phương trình có 2 nghiệm 0 x3 x4 .2Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; .Trang 6Câu 6.Cho hàm số f [ x ] có bảng biến thiên như sau:3 Số nghiệm thuộc đoạn − ; của phương trình 2 f [ 2 cos x ] − 9 = 0 là2A. 5.B. 2.C. 3.D. 6.Lời giảiChọn AĐặt t = 2cos x , t −2; 2 thì 2 f [ 2cos x ] − 9 = 0 trở thành 2 f [ t ] − 9 = 0 f [ t ] =9[1] .2Nhận xét: số nghiệm của phương trình là [1] số giao điểm của hai đồ thị: [ C ] : y = f [ t ] và đườngthẳng [ d ] : y =9.2Bảng biến thiên hàm số y = f [ t ] trên đoạn −2; 2 :Dựa vào bảng biến thiên, trên đoạn −2; 2 phương trình[ 2]có 2 nghiệm phân biệtt1 [ −2;0 ] , t2 [ 0; 2 ] .3 Ta có đồ thị hàm số y = cos x trên − ; :2Trang 7▪Với t1 [ −2;0 ] 2 cos x = t1 [ −2;0 ] cos x =t1 [ −1; 0 ] .23 tDựa vào đồ thị hàm số y = cos x trên − ; ta thấy phương trình cos x = 1 [ −1; 0 ] có 322nghiệm phân biệt: − x1 −▪22 x2 x3 Với t2 [ 0; 2 ] 2 cos x = t2 [ 0; 2 ] cos x =3.2t2 [ 0;1] .23 tDựa vào đồ thị hàm số y = cos x trên − ; ta thấy phương trình cos x = 2 [ 0;1] có 222nghiệm phân biệt −2 x4 0 x5 2.3 Vậy số nghiệm thuộc đoạn − ; của phương trình 2 f [ 2 cos x ] − 9 = 0 là 5 nghiệm.2Câu 7.Cho hàm số f [ x ] có bảng biến thiên như sau:Số nghiệm trên đoạn −2 ;2 của phương trình 4 f [ cos x ] + 5 = 0 làA. 4.B. 6.C. 3.D. 8.Lời giảiChọn DTừ 4 f [ cos x ] + 5 = 0 f [ cos x ] = −5[1] .4Đặt t = cos x với x −2 ;2 thì t −1;1 .5Ta có [1] f [ t ] = − .4Trang 8Xét hàm số h [ x ] = cos x ; x −2 ; 2 , ta có BBT:Với t = −1 thì phương trình có 2 nghiệm.Với −1 t 1 thì phương trình có 4 nghiệm.Với t = 1 thì phương trình có 3 nghiệm.5Xét f [ t ] = − với t −1;1 .4Nhìn vào BBT, khi đó phương trình f [ t ] = −5có 2 nghiệm.4Vậy tất cả có 8 nghiệm.Câu 8.Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênvà có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá[]trị thực của tham số m để phương trình f x 2 + 2 x − 2 = 3m + 1 có nghiệm thuộc đoạn 0;1 làA. 0; 4 .C. 0;1 .B. −1;0 . 1 D. − ;1 . 3 Lời giảiChọn DĐặt t = x 2 + 2 x − 2 . Với x 0;1 t −2;1 .[]Phương trình f x 2 + 2 x − 2 = 3m + 1 có nghiệm thuộc đoạn 0;1 khi và chỉ khi phương trình1f [ t ] = 3m + 1 có nghiệm thuộc −2;1 0 3m + 1 4 − m 1 .3Trang 9Câu 9.Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trên mỗi khoảng [ −;1] ; [1; +] và có đồ thị như hình vẽ dướiđây:y21O 1x2Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f [ log 2 x ] = m có nghiệm thuộckhoảng [ 4; + ] làC. 0;1] .B. [ 0; 2 ] .A. [1;+ ] .D.\ 1 .Lời giảiChọn CĐặt t = log 2 x . Với x [ 4; + ] thì t [ 2; + ] .Do đó phương trình f [ log 2 x ] = m có nghiệm thuộc khoảng [ 4; + ] khi và chỉ khi phươngtrình f [ t ] = m có nghiệm thuộc khoảng [ 2; + ] .Quan sát đồ thị ta suy ra f [ t ] = m có nghiệm thuộc khoảng [ 2; + ] khi m 0;1] .Câu 10. Cho hàm số bậc ba y = f [ x ] có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:Tìm số nghiệm thực của phương trình fB. 3 .A. 1[]− x 2 + 4 x − 3 = −2.C. 4 .Lời giảiD. 5 .Chọn ACách 1:Ta có− x 2 + 4 x − 3 xác định khi 1 x 3.Trang 10[Từ đồ thị của hàm số, ta có f − x 2 + 4 x − 3 = a 0 [ loaïi ]2− x + 4 x − 3 = −2 − x 2 + 4 x − 3 = 1.2 − x + 4 x − 3 = b [ 2;3]]•− x 2 + 4 x − 3 = 1 x = 2.•− x 2 + 4 x − 3 = b x 2 − 4 x + 3 + b 2 = 0 có = 4 − [ 3 + b2 ] = 1 − b2 0, b [ 2;3] .Vậy phương trình fCách 2:[]− x 2 + 4 x − 3 = −2 có đúng 1 nghiệm.Đặt t = − x 2 + 4 x − 3 t [0;1], x [1;3] .Ta có f][− x 2 + 4 x − 3 = −2 trở thành f [ t ] = −2 , khi đó phương trình có 1 nghiệmtrên [0;1].Câu 11. Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênvà có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giátrị thực của tham số m để phương trình f][2 − x 2 = m có nghiệm là:y2x−2 - 2 OB. [ 0;2 ] .A. − 2 ; 2 .2 2C. [ −2;2 ] .D. 0;2 .Lời giảiChọn DĐiều kiện của phương trình: x − 2 ; 2 .Đặt t = 2 − x 2 . Với x − 2 ; 2 thì t 0; 2 .Do đó phương trình f[]2 − x 2 = m có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f [ t ] = m có nghiệmthuộc đoạn 0; 2 .Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m 0;2 .Câu 12. Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênvà có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm tập hợp tất cả các[ ]giá trị thực của tham số m để phương trình f e x = m có nghiệm thuộc khoảng [ 0;ln 2 ] .Trang 111A. [ −3;0 ] .B. [ −3;3] .C. [ 0;3] .D. −3; 0Lời giảiChọn AĐặt t = e x . Với x [ 0;ln 2 ] t [1; 2 ] .[ ]Phương trình f e x = m có nghiệm thuộc khoảng [ 0;ln 2 ] khi và chỉ khi phương trình f [ t ] = mcó nghiệm thuộc khoảng [1; 2 ] −3 m 0 .Câu 13. Cho hàm số y = f [ x ] = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị[]thực của tham số m để phương trình f sin 2 x = m có nghiệm.A. −1;1 .B. [ −1;1] .C. [ −1;3] .D. −1;3 .Lời giảiChọn AĐặt t = sin 2 x t 0;1 , khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình f [ t ] = m cónghiệm t trên đoạn 0;1 . Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra m −1;1 .Câu 14. Cho hàm số y = f [ x ] có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m đểphương trình f [ log 2 x ] = 2m + 1 có nghiệm thuộc 1; 2 ?Trang 12A. 3.B. 1.C. 2.D. 5.Lời giảiChọn Cx1;2Đặt t = log 2 x → t 0;1 f [ t ] −1; 2 . Ta có đồ thị hình vẽ như sau:Để phương trình đã cho có nghiệm thoả mãn yêu cầu thì −1 2m + 1 2 −1 m 1.2Do m m −1;0 .Câu 15. Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênvà có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị1 nguyên của m để phương trình f [ 2 log 2 x ] = m có nghiệm duy nhất trên ; 2 ?2 A. 9 .B. 6 .C. 5 .Lời giảiD. 4 .Chọn B1 Đặt t = 2 log 2 x , x ; 2 t −2; 2 ] . Với mỗi t −2;2 ] thì phương trình 2log 2 x = t có2 1 một nghiệm duy nhất trên ; 2 .2 Trang 131 Phương trình f [ 2 log 2 x ] = m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn ; 2 khi và chỉ khi phương2 −2 m 2trình f [ t ] = m có nghiệm duy nhất thuộc −2;2 ] m = 6 có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.Câu 16. Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênvà có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình f [ 2cos x − 1] = m có hai nghiệm thuộc − ; ? 2 2A. 3 .B. 2 .C. 4 .D. 5 .Lời giảiChọn A Đặt 2cos x −1 = t ; x − ; t [ −1;1 . 2 2 Ta có: t [ −1;1] cho 2 nghiệm x − ; . 2 2 Do đó phương trình f [ 2cos x − 1] = m có hai nghiệm thuộc − ; khi phương trình 2 2f [ t ] = m có một nghiệm thuộc [ −1;1] .Từ đồ thị ta thấy f [ t ] = m có một nghiệm thuộc [ −1;1] m [ −3;1] .Vậy tập hợp số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán là S = −2; − 1;0 .Câu 17. Cho hàm số y = f [ x] có đồ thị như hình vẽ sau:Trang 14Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f [2 x3 − 6 x + 2] = m có 6 nghiệm phân biệt thuộcđoạn [ −1; 2] ?A. 1 .B. 0 .C. 2 .D. 3 .Lời giảiChọn AXét hàm số g [ x ] = 2 x3 − 6 x + 2 trên đoạn −1; 2 , ta có bảng biến thiên như sau :Đặt t = 2 x 3 − 6 x + 2 , với x −1; 2 thì t −2;6 .Dựa vào bảng biến thiên ta có nhận xét với mỗi giá trị t0 [ −2;6 thì phương trìnht0 = 2 x3 − 6 x + 2 có hai nghiệm phân biệt x −1; 2 và tại t0 = 2 thì phương trìnht0 = 2 x3 − 6 x + 2 có một nghiệm.[]Với nhận xét trên và đồ thị hàm số trên đoạn −2; 6 thì phương trình f 2 x3 − 6 x + 2 = m có 6nghiệm phân biệt thuộc đoạn −1; 2 khi và chỉ khi phương trình f [ t ] = m có 3 nghiệm phânbiệt trên nửa khoảng [ −2;6 .Suy ra 0 m 2 . Vậy một giá trị nguyên m = 1 thỏa mãn.Câu 18. Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trêncó đồ thị như hình vẽ dưới đâyTrang 15Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 f[]9 − x 2 = m − 2019 cónghiệm?A. 5.B. 4.C. 7.D. 8.Lời giảiChọn ATa có 2 f[]9 − x 2 = m − 2019 f[]m − 2019[ *] .29 − x2 =Đặt t = 9 − x 2 với x −3; 3 . Ta có t =−x9 − x2 t = 0 x = 0 .Từ bảng biến thiên ta có t 0 ; 3 . Vậy phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi phươngtrình f [ t ] =m − 2019m − 2019 max f [ t ]có nghiệm t 0 ; 3 hay min f [ t ] 0;30;322−1 m − 2019 3 −1 m − 2019 3 2018 m 2022 .222Do m m 2018 ; 2019 ; 2020 ; 2021; 2022 .Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.Câu 19. Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trêncó đồ thị như hình vẽ sau:m2 − 1= 0 có hai nghiệm phânSố các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f e −8biệt là[ ]xA. 5 .B. 4 .C. 7 .D. 6 .Lời giảiTrang 16Chọn A[ ]Ta có f e x −m2 − 1m2 − 1= 0 f ex =[ *] .88[ ]m2 − 1Đặt e = t [ t 0 ] . Khi đó [*] trở thành f [ t ] =8x[1] .Ta có mỗi t 0 cho duy nhất một giá trị x = lnt .Phương trình [*] có hai nghiệm phân biệt Phương trình [1] có hai nghiệm dương phân biệt Đường thẳng y =phân biệt −1 m2 − 1cắt phần đồ thị hàm số y = f [ t ] trên khoảng [ 0; + ] tại hai điểm8m2 − 1 1 −7 m 2 9 −3 m 3 mà m .8 m−2 ; − 1; 0 ;1; 2 có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.Câu 20. Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trên𝑥−∞𝑦′có bảng biến thiên như hình dưới đây.0+0+∞2−0++∞1𝑦−∞−3Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f 2 [ x ] = 3 − 2 f [ x ] .A. 3.B. 4.C. 2.D. 1.Lời giảiChọn BTa có f [ x] = 1f 2 [ x] = 3 − 2 f [ x] f 2 [ x] + 2 f [ x] − 3 = 0 . f [ x ] = −3Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = f [ x ] cắt đường thẳng y = 1 tại hai điểm phânbiệt nên phương trình f [ x ] = 1 có hai nghiệm phân biệt.Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = f [ x ] cắt đường thẳng y = −3 tại hai điểmphân biệt nên phương trình f [ x ] = −3 có hai nghiệm phân biệt, không trùng với các nghiệmcủa phương trình f [ x ] = 1 .Vậy phương trình f 2 [ x ] = 3 − 2 f [ x ] có 4 nghiệm phân biệt.Trang 17 Mức độ 4Câu 1.Cho hàm số bậc ba y = f [ x ] có đồ thị như hình vẽ sau:y22-2-11Ox-2y = f[x]Hỏi phương trình f [ f [ x ] ] = 2 có bao nhiêu nghiệm?A. 3.B. 4.C. 5.Lời giảiD. 6.Chọn CDựa vào đồ thị của hàm số ta có: f [ x ] = −2.f [ f [ x ]] = 2 f [ x ] = 1Số nghiệm của các phương trình f [ x ] = −2 và f [ x ] = 1 lần lượt là số giao điểm đồ thị hàm sốy = f [ x ] và các đường thẳng y = −2, y = 1 .Dựa vào đồ thị ta có f [ x ] = −2 có hai nghiệm phân biệt x1 = −1; x2 = 2 và f [ x ] = 1 có banghiệm x3 = a; x4 = b; x5 = c sao cho −2 a −1 b 1 c 2.Vậy phương trình f [ f [ x ] ] = 2 có 5 nghiệm phân biệt.Câu 2.Cho hàm số f [ x ] liên tục trêncó đồ thị y = f [ x ] như hình vẽ bên. Phương trìnhf [ 2 − f [ x ] ] = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt?A. 4.B. 5.C. 6.D. 7.Lời giảiChọn BTrang 18Theo đồ thị: x = a [ −2 a −1]2 − f [ x ] = a f [ x ] = 2 − a [1]f [ x ] = 0 x = b [ 0 b 1] f [ 2 − f [ x ] ] = 0 2 − f [ x ] = b f [ x ] = 2 − b [ 2 ]x = c 1 c 22 − f x = cf x = 2−c 3[][ ][ ] [ ]Nghiệm của các phương trình [1]; [2]; [3] lần lượt là giao điểm của các đường thẳngy = 2 − a; y = 2 − b; y = 2 − c với đồ thị hàm số f [ x ] .a [ −2; − 1] 2 − a [ 3; 4 ] suy ra phương trình [1] có đúng 1 nghiệm.b [ 0;1] 2 − b [1; 2 ] suy ra phương trình [2] có đúng 1 nghiệm.c [1;2 ] 2 − c [ 0;1] suy ra phương trình [3] có 3 nghiệm phân biệt.Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biệt.Câu 3. Cho hàm số y = f [ x ] có đồ thị như hình vẽ dưới đây:Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trìnhf f [ cos 2 x ] = 0 ?A. 1 điểm.B. 3 điểm.C. 4 điểm.Lời giảiD. Vô số.Chọn CDựa vào đồ thị ta thấy khi x −1;1 thì y 0;1.Do đó nếu đặt t = cos 2x thì t −1;1 , khi đó f [ cos 2 x ] 0;1. f [ cos 2 x ] = 0Dựa vào đồ thị, ta có f f [ cos 2 x ] = 0 f [ cos 2 x ] = a [ a −1] [ loaïi ] . f cos 2 x = b b 1 loaïi] [] [ ] [cos 2 x = 0Phương trình f [ cos 2 x ] = 0 cos 2 x = a [ a −1] [ loaïi ]cos 2 x = b b 1 loaïi[] [ ] cos 2 x = 0 x =4+k2[ k ].Vậy phương trình đã cho có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.Câu 4.Cho hàm số y = f [ x ] có đồ thị như hình vẽ sau:Trang 19Số nghiệm của phương trình [f [ x 2 + 1]]2 − f [ x 2 + 1] − 2 = 0 làA. 1.C. 3 .B. 4.D. 5 .Lời giảiChọn BĐặt t = x 2 + 1 t 1 .Ta thấy ứng với t = 1 cho ta một giá trị của x và ứng với mỗi giá trị t 1 cho ta hai giá trị củax. f [t ] = −1Phương trình đã cho trở thành: [f [t ]]2 − f [t ] − 2 = 0 . f [t ] = 2Từ đồ thị hàm số y = f [t ] trên [1;+] suy ra phương trình f [t ] = −1 có 1 nghiệm t = 2 vàphương trình f [t ] = 2 có 1 nghiệm t 2 do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm.Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.Câu 5.Đồ thị hàm số f [ x ] = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e có dạng như hình vẽ sau:Phương trình a [ f [ x] ] + b [ f [ x] ] + c [ f [ x] ] + df [ x] + e = 0 [*] có số nghiệm là4A. 2.3B. 6.2C. 12.Lời giảiD. 16.Chọn C.Trang 20Ta thấy đồ thị y = f [ x ] cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f [ x ] = 0 có 4nghiệm phân biệt: x1 [ −1,5; −1] , x2 [ −1; −0,5] , x3 [ 0;0,5] , x4 [1,5; 2 ] .Kẻ đường thẳng y = m , khi đó:Với m = x1 [ −1,5; −1] có 2 giao điểm nên phương trình f [ x ] = x1 có 2 nghiệm.Với m = x2 [ −1; −0,5] có 4 giao điểm nên phương trình f [ x ] = x2 có 4 nghiệm.Với m = x3 [ 0;0,5] có 4 giao điểm nên phương trình f [ x ] = x3 có 4 nghiệm.Với m = x4 [1,5; 2 ] có 2 giao điểm nên phương trình f [ x ] = x4 có 2 nghiệm.Vậy phương trình [*] có 12 nghiệm.Câu 6.Cho hàm số f [ x ] liên tục trên[có đồ thị y = f [ x ] như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của]phương trình f 2 + f [ e x ] = 1 làA. 1.B. 2.C. 3.Lời giảiD. 4.Chọn BTa có:Trang 21Theo đồ thị :[f 2 + f [ex]] 2 + f [ e x ] = −1=1 2 + f [ e x ] = a, [ 2 a 3 ]e x = 12 + f [ e ] = −1 f [ e ] = −3 x x=0e = b −1[ L ]xxe x = c −1[ L ]2 + f [ e x ] = a f [ e x ] = a − 2, [ 0 a − 2 1] e x = d 0 [ L ] x = ln t xe = t 2Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.Câu 7.Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênthỏa mãn điều kiện lim f [ x ] = lim f [ x ] = − và có đồx →−x →+thị như hình dưới đây:[]Với giả thiết, phương trình f 1 − x3 + x = a có nghiệm. Giả sử khi tham số a thay đổi, phươngtrình đã cho có nhiều nhất m nghiệm và có ít nhất n nghiệm. Giá trị của m + n bằngA. 4 .B. 6 .C. 3 .Lời giảiD. 5 .Chọn CDễ thấy điều kiện của phương trình đã cho là x 0 .Đặt t = 1 − x3 + x[1] t [−;1] .Trang 22Dễ thấy phương trình [1] luôn có nghiệm duy nhất t [−;1] .Phương trình đã cho có dạng: f [ t ] = a [2], t 1 .Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số nghiệm của [2].Đồ thị hàm số y = f [ t ] , t 1 có dạng:Do đó:[2] vô nghiệm khi a 1 .[2] có hai nghiệm khi −3 a 1 .[2] có nghiệm duy nhất khi a = 1 hoặc a −3 .Vậy m = 2, n = 1 m + n = 3 .Câu 8.Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênvà có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập các giá trị nguyêncủa m để cho phương trình f [ sin x ] = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng [ 0; ] . Tổng cácphần tử của S bằngA. −5.B. −8.C. −10.D. −6.Lời giảiChọn CĐặt t = sin x , do x [ 0; ] sin x [ 0;1 t [ 0;1 .Phương trình đã cho trở thành f [ t ] = 3t + m f [t ] − 3t = m [*] .Đặt g [t ] = f [t ] − 3t. Ta có: g '[t ] = f '[t ] − 3 [1] .Trang 23Dựa vào đồ thị hàm số y = f [ x ], ta có: t [ 0;1 : f '[t ] 0 [2] .Từ [1] và [2] suy ra: t [ 0;1 : g '[t ] 0.Do đó hàm số g [t ] nghịch biến trên khoảng [ 0;1] .PT [*] có nghiệm t [ 0;1 min g [t ] m max g [t ] g [1] m g [0]0;10;1 f [1] − 3 m f [0] −4 m 1.Vậy m nguyên là: m −4; −3; −2; −1;0 S = −10.Câu 9.Cho hàm số y = f [ x ] liên tục trênvà có đồ thị như hình vẽ sau:mCó bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f [ 2 sin x ] = f có đúng 122nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; 2 ?A.3.B.4.C. 2.Lời giảiD. 5.Chọn CTa có bảng biến thiên của hàm số y = g [ x ] = 2 sin x trên đoạn − ; 2 mPhương trình f [ 2 sin x ] = f có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; 2 khi và chỉ2mkhi phương trình f [ t ] = f có 2 nghiệm phân biệt t [ 0; 2 ] .2Trang 24mDựa vào đồ thị hàm số y = f [ x ] suy ra phương trình f [ t ] = f có 2 nghiệm phân biệt2m0 2270 m 4m2. f 0 t [ 0; 2 ] khi và chỉ khi −16m3m32 2 2Do m nguyên nên m 1; 2 . Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán.Câu 10.Cho hàm số y = f [ x ] có bảng biến thiên như sau:11Số nghiệm thuộc đoạn − ; của phương trình f sin x − cos x = −2 là43A. 3 .B. 0 .C. 2 .D. 1 .Lời giảiChọn Bx = 1Nhìn vào đồ thị ta xét phương trình f [ x ] = −2 x = −11111Nên từ đó ta có : f sin x − cos x = −2 sin x − cos x = 134435 43512 sin x − cos x = 1 12 sin [ x − ] = 1 sin [ x − ] = 512 55Dễ thấy rằng phương trình trên vô nghiệm.Vậy phương trình đã vô nghiệm trên đoạn 0; 2 .Câu 11. Cho hàm số f [ x ] có bảng biến thiên như sauTrang 25