- Các căn bậc hai của số thực \[a < 0\] là \[± i\sqrt{|a|}\]
- Xét phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c= 0\] với \[a, b, c \in R\], \[a \ne 0\].
Đặt \[\Delta = {b^2}-4ac\].
- Nếu \[∆ = 0\] thì phương trình có một nghiệm kép [thực] \[x = -\dfrac{b}{2a}\].
- Nếu \[∆ > 0\] thì phương trình có hai nghiệm thực \[x_{1,2}\]= \[ \dfrac{-b \pm \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\]
- Nếu \[∆ < 0\] thì phương trình có hai nghiệm phức \[x_{1,2}\] = \[ \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\bigtriangleup | }}{2a}\]
Nhận xét. Trên \[\mathbb C\], mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm [không nhất thiết phân biệt]. Tổng quát, mọi phương trình bậc \[n\], \[n \in {\mathbb N }^*\] đều có \[n\] nghiệm phức [các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt].
Loigiaihay.com
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 4 : Phương trình bậc hai với hệ số thực - Thầy Trần Thế Mạnh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của w .
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a, b, c ∈ R; a ≠ 0]. Xét Δ = b2 - 4ac, ta có
• Δ = 0: phương trình có nghiệm thực x = -b/2a .
• Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:
• Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:
** Chú ý.
- Mọi phương trình bậc n: A0zn + A1zn-1 + ... + An-1z + An = 0 luôn có n nghiệm phức [không nhất thiết phân biệt].
- Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] có hai nghiệm phân biệt x1, x2 [thực hoặc phức]. Ta có hệ thức Vi–ét
1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức
• Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực
+ a < 0, a có các căn bậc hai là ±i√|a| .
+ a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0.
+ a > 0 , a có hai căn bậc hai là ±√a.
Quảng cáo
Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và -i. Hai căn bậc hai của -a2 [a là số thực khác 0] là ai và -ai.
• Trường hợp w = a + bi [a,b ∈ R, b ≠ 0]
Gọi z = x + yi [x, y ∈ R] là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z2 = w, tức là
[x + yi]2 = a + bi ⇔ x2 - y2 + 2xyi = a +bi ⇔
Mỗi cặp số thực [x; y] nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x + yi của số phức w = a + bi.
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w = -5 + 12i.
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi [x, y ∈ R] là một căn bậc hai của số phức w = -5 _ 12i.
Ta có z2 = w ⇔ [x + yi]2 = -5 + 12i ⇔
Vậy w = -5 + 12i có hai căn bậc hai là 2 + 3i và -2 - 3i.
2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan
• Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z2 - z + 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có ± = b2 -4ac = -3 < 0
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là
• Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = -1.
Quảng cáo
Định lý Bơdu:
Phần dư trong phép chia đa thức f[x] cho x - a bằng giá trị của đa thức f[x] tại x = a
Tức là f[x] = [x - a]g[x] - f[a]
Hệ quả: Nếu f[a] = 0 thì f[x]⋮ [x - a]
Nếu f[x]⋮[x - a] thì f[a] = 0 hay f[x] = 0 có một nghiệm x = a
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử [dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne] như sau:
Với đa thức f[x] = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 chia cho x - a có thương là g[x] = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0 dư r
| an | an-1 | an-2 | a2 | a1 | a0 | |
| a | bn-1 = an | bn-2 = abn-1 | bn-3 = abn-2 | b1 = ab2 | b0 = ab1 + a1 | r = ab0 + b0 |
– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ [nếu có].
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.
Nhập số thuần ảo i: Phím ENG
2. Tìm các căn bậc hai của một số phức
Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z = -3-4i có kết quả:
Hướng dẫn:
Cách 1:
– Mode 2 [CMPLX]
– Nhập hàm X2
– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận.
Cách 2:
– Mode 1 [COMP]
– Nhấn Shift + [Pol], ta nhập Pol[-3;4]
– Nhấn Shift – [Rec], ta nhập Rec[√X,Y:2], ta thu được kết quả X = 1; Y = 2.
– Vậy 2 số phức cần tìm là 1 + 2i và -1 - 2i.
Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết Toán lớp 12 khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
so-phuc.jsp
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
- Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0[ a;b;c ∈ R;a ≠ 0].
Xét Δ = b2 - 4ac, ta có
+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x =
+ Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:
+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:
+ Chú ý.
Mọi phương trình bậc n:
Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0[ a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 [thực hoặc phức].
- Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử [dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne] như sau:
Với đa thức f[x] = anxn + an - 1xn - 1 + .... + a1x + ao chia cho x - a có thương là
g[x] = bnxn + bn - 2xn - 2 + .... + b1x + bo dư r
| an | an-1 | an-2 | a2 | a1 | ao | |
| a | bn-1 = an | bn-2 = abn-1 + an-2 | bn-3 = abn-2 + an-3 | b1 = ab2 + a2 | bo = ab1 + a1 | r = abo + bo |
– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ [nếu có].
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z2 - z + 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b2 - 4ac = -3 < 0
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là
Quảng cáo
Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z2 + √5 = 0 là:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án B
Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z3 - 8 = 0 là :
Hướng dẫn:
Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4:Trong C , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:
Hướng dẫn:
Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :
Δ = b2 - 4ac = [3i]2 - 4.1.4 = -25