Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${d1}$ và ${d2}$ chéo nhau có phương trình ${d1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \f
A.
B.
C.
D.
Câu hỏi:
Cho hai đường thẳng
\[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 1\\ y = 1 – t\\ z = 2t
\end{array} \right.\left[ {t \in R} \right]\]
\[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 – 2t\\ y = 3\\ z = t
\end{array} \right.\left[ {t \in R} \right]\]
. Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình là
Lời giải tham khảo:
chen-hinh-htn Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đáp án đúng: D
Dễ dàng nhận thấy hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. Ý tưởng ở đây là tìm hai điểm \[{H_1} \in \left[ {{d_1}} \right]\]; \[{H_2} \in \left[ {{d_2}} \right]\] sao cho H1H2 là đường vuông góc chung của d1, d2.
\[\begin{array}{l} {H_1} \in \left[ {{d_1}} \right];{H_2} \in \left[ {{d_2}} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {H_1}\left[ {2 + a;1 – a;2a} \right]\\ {H_2}\left[ {2 – 2b;3;b} \right] \end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \left[ { – 2b – a;a + 2;b – 2a} \right]\\ \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {1; – 1;2} \right];\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left[ { – 2;0;1} \right]\\ \left\{ \begin{array}{l} {H_1}{H_2} \bot {d_1}\\ {H_1}{H_2} \bot {d_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{H_1}{H_2}} .\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = 0\\ \overrightarrow {{H_1}{H_2}} .\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ { – 2b – a} \right] – \left[ {a + 2} \right] + 2\left[ {b – 2a} \right] = 0\\ – 2.\left[ { – 2b – a} \right] + 0\left[ {a + 2} \right] + \left[ {b – 2a} \right] = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 6a – 2 = 0\\ 5b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{ – 1}}{3}\\ b = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {H_1}\left[ {\frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{{ – 2}}{3}} \right];{H_2}\left[ {2;3;0} \right]
\end{array}\]
Mặt phẳng cần tìm [P] đi qua trung điểm M của H1H2 và vuông góc với H1H2 nên:
\[\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} M\left[ {\frac{{11}}{6};\frac{{13}}{6};\frac{{ – 1}}{3}} \right] \in \left[ P \right]\\ \overrightarrow {{n_{\left[ P \right]}}} = \overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \left[ {\frac{1}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right] \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ P \right]:x + 5y + 2z – 12 = 0
\end{array}\]
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2: Phương pháp giải. Trường hợp trong hai đường thẳng d1, d2 có đường thẳng song song với [P] thì không tồn tại đường thẳng d. Trường hợp d1 và d2 đều không nằm trên [P] và cắt [P]: Gọi giao điểm của d1, d2 với [P] lần lượt là A và B. Từ đó tìm được tọa độ A và B. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. Trường hợp có đường thẳng nằm trên [P], giả sử [P]: • Nếu d2C [P] thì Với mỗi điểm M nằm trên [P] ta sẽ lập được VÔ SỐ đường thẳng d qua M đồng thời cắt d1 và d2. • Nếu d2 ¢ [P], d2 cắt [P] thì ta tìm giao điểm M của d2 và [P]. Như vậy, cũng có vô số đường thẳng d qua M và cắt d1. Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho [P]: y + 2z = 0, d: x = 2 – t d2: g = 4 + 2t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Ta có m[P] = [0; 1; 2], vì d1 = [-1; 1; 4], vì d2 = [-1; 2; 0]. Vậy đường thẳng d có phương trình x = -7 + 3t. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho [P] : 2x – 3y + 32 – 4 = 0, d1 : k = 4 – 2t và d2: z = 4 + 3t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho [P]: 23 – g + 3 = 0, dt: y = 4 – 2t và d2: 12 = 4 + 3t x = 2 + ť g = 4 – t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Đường thẳng d có phương trình dạng d: g + t. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho [P]: 3x + 1 = 0, d1: y = 3 – 2t và d2: 4 = 2 + t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho [P]: 3x + y + z + 3 = 0, d1: y = 4 – 3t và d2: y = -2 + 2t. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Kiểm tra được d1 cắt d2 và cùng nằm trên mặt phẳng [P]. Do đó, có vô số đường thẳng d nằm trên mặt phẳng [P] đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2. Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho [P]: 30 – Z + 2 = 0, d1: y = 4 – 5t và d2: Y = -2 + 2. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] đồng thời cắt cả hai đường thẳng d và d2. Kiểm tra được d1 || [P] nên không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song cho trước và nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song cho trước và nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó: Phương pháp giải. Để viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song cho trước d1, d2 và nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó ta thực hiện theo các bước sau: Xác định điểm A thuộc d1, B thuộc d2 và gọi I là trung điểm của AB, khi đó d đi qua I. Xác định véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d hoặc của đường thẳng d2. Khi đó TI’ cũng là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d. Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều d1, d2 và nằm trong mặt phẳng. Ta có u = [1; 2; 3]. Điểm A[3; 2; 4] thuộc d1, điểm B[0; 2; 1] thuộc d2. Vì d || d1 cách đều và nằm trong mặt phẳng chứa d1 nên trung điểm I của AB nằm trên d. Ví dụ 4. Cho đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng [P]: 2 – 3 = 3 [Q]: 30 – 2 = 8 và đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng [P]: -20 + z = 1, [Q] : 30 – 10g + 6x = 8. Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều d1, d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1, d2. Viết lại phương trình d1, d2 về dạng chính tắc, khi đó dễ thấy d1 || d2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng song song d1: X – 3 Y – 1 + 5. Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều d1, d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2. Ta có điểm A[1; 3; -1], điểm B[3; 1; -5]. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I[2; 2; -3]. Từ giả thiết suy ra d đi qua điểm I và có véc-tơ chỉ phương có a = [2; 1; -1]. Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[5; 1; -5] và đường thẳng d: Y-3 z + 1. Gọi d2 là đường thẳng qua A và song song với dị. Viết phương trình đường thẳng d, cách đều d1, do và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2. Ta có điểm B[-1; 3; -1]. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I[2; 2; -3]. Từ giả thiết suy ra d đi qua điểm I và có véc-tơ chỉ phương a = [3; 2; -1]. Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A[1; 2; 3], B[1; -2; 1] và đường thẳng x = 1 + t [A]: g = 2 + 3t. Gọi d1 và d2 lần lượt là các đường thẳng qua A, B và Song song với [A]. Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều d1, d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I[1; 0; 2]. Từ giả thiết suy ra d đi qua điểm I và có véc-tơ chỉ phương có a = [1; 3; -2]. Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’CD có A[1; 2; -1], B[3; -4; 1], B[2; -1; 3] và D[0; 3; 5]. Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều các đường thẳng AB, DC và nằm trong mặt phẳng chứa các đường thẳng đó. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, khi đó đường thẳng d đi qua các điểm M, N. Ta xác định được D[1; 0; 3] và C[2; -3; 7], từ đó suy ra M[1;1;1] và [2; -2; 5].
Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’CD có A[1; 2; -1], B[3; -4; 1], B'[2; -1; 3] và D[0; 3; 5]. Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều các đường thẳng AA’, BB, CC, DD. Gọi 0,0 lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, A’B’CD. Khi đó d là đường thẳng đi qua các điểm 0,0′. Ta xác định được D[1; 2; 3], từ đó suy ra O[2; -2; 2] và O'[1;1; 4].