Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 2 :
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {\cos ^2}3x\]. Tìm \[f'\left[ x \right]\]
- A \[f'\left[ x \right] = 3\sin 6x\]
- B \[f'\left[ x \right] = \sin 6x\]
- C \[f'\left[ x \right] = - 3\sin 6x\]
- D \[f'\left[ x \right] = - \sin 6x\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[f\left[ x \right] = {\cos ^2}3x \Rightarrow f'\left[ x \right] = - 6\sin 3x\cos 3x = - 3\sin 6x\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 3 :
Tính đạo hàm của hàm số \[y=\cos 4x-3\sin 4x.\]
- A \[y'=12\cos 4x+4\sin 4x\]
- B \[y'=-12\cos 4x+4\sin 4x\]
- C \[y'=-12\cos 4x-4\sin 4x\]
- D \[y'=-3\cos 4x-\sin 4x\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+] Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp \[\left[ \cos u\left[ x \right] \right]'=-u'\left[ x \right]\sin u\left[ x \right]\] và \[\left[ sinu\left[ x \right] \right]'=u'\left[ x \right]\cos u\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y'=\left[ \cos 4x-3\sin 4x \right]'=-4sin4x-12cos4x.\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 4 :
Hàm số \[y={{x}^{2}}.\cos x\] có đạo hàm là:
- A \[y'=2x\sin x-{{x}^{2}}\cos x\]
- B \[y'=2x\sin x+{{x}^{2}}\cos x\]
- C \[y'=2x\cos x-{{x}^{2}}\sin x\]
- D \[y'=2x\cos x+{{x}^{2}}\sin x\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+] Sử dụng công thức tính đạo hàm: \[\left[ f\left[ x \right].g\left[ x \right] \right]'=f'\left[ x \right]g\left[ x \right]+f\left[ x \right]g'\left[ x \right]\] và các công thức đạo hàm cơ bản của hàm số để tính.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y'=\left[ {{x}{2}}\cos x \right]'=2x\cos x-{{x}{2}}\sin x.\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 5 :
Hàm số \[f\left[ x \right] = \sin 3x\] có đạo hàm \[f'\left[ x \right]\] là:
- A \[f'\left[ x \right] = - 3\cos 3x\]
- B \[f'\left[ x \right] = 3\cos 3x\]
- C \[f'\left[ x \right] = - \cos 3x\]
- D \[f'\left[ x \right] = \cos 3x\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm cơ bản: \[\left[ {\sin ax} \right]' = a\,cos\,ax.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[f'\left[ x \right] = \left[ {\sin 3x} \right]' = 3\cos 3x.\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 6 :
Cho hàm số \[y=\cos 3x.\sin 2x\]. Tính \[y'\left[ \frac{\pi }{3} \right]\] bằng:
- A \[y'\left[ \frac{\pi }{3} \right]=-1\]
- B \[y'\left[ \frac{\pi }{3} \right]=\frac{1}{2}\]
- C \[y'\left[ \frac{\pi }{3} \right]=-\frac{1}{2}\]
- D \[y'\left[ \frac{\pi }{3} \right]=1\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một tích: \[\left[ uv \right]'=u'v+uv'\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {\cos 3x} \right]'.\sin 2x + \cos 3x\left[ {\sin 2x} \right]' = - \sin 3x.\left[ {3x} \right]'.\sin 2x + \cos 3x.\cos 2x\left[ {2x} \right]'\\= - 3\sin 3x\sin 2x + 2\cos 3x\cos 2x\\ \Rightarrow y'\left[ {\frac{\pi }{3}} \right] = - 3\sin \pi .\sin \frac{{2\pi }}{3} + 2\cos \pi .\cos \frac{{2\pi }}{3} = - 2.\left[ { - \frac{1}{2}} \right] = 1\end{array}\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 7 :
Tính đạo hàm \[y'\] của hàm số \[y=\sin x+\cos x\]
- A \[y'=2\cos x\]
- B \[y'=2\sin x\]
- C \[y'=\sin x-\cos x\]
- D \[y'=\cos x-\sin x\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Dựa vào bảng đạo hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết:
\[y'=\cos x-\sin x\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 8 :
Cho hàm số \[f\left[ x \right]=\text{cos}2x.\] Tính \[P={f}''\left[ \pi \right].\]
- A \[P=4.\]
- B \[P=0.\]
- C \[P=-\,4.\]
- D \[P=-1.\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác : \[\left[ \cos u \right]'=-u'\sin u;\ \ \left[ \sin u \right]'=u'\cos u.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[{f}'\left[ x \right]=-\,2\sin 2x\Rightarrow {f}''\left[ x \right]=-\,4\cos 2x\Rightarrow P={f}''\left[ \pi \right]=-\,4.\]
Chọn C
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 9 :
Xét hàm số \[f\left[ x \right]=\tan \left[ x-\frac{2\pi }{3} \right]\]. Giá trị của \[f'\left[ 0 \right]\] bằng:
- A 4
- B \[\sqrt{3}\]
- C \[-\sqrt{3}\]
- D 3
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: \[\left[ \tan u \right]'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = \frac{{\left[ {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right]'}}{{{{\cos }^2}\left[ {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right]}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left[ {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right]}}\\ \Rightarrow y'\left[ 0 \right] = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left[ { - \frac{{2\pi }}{3}} \right]}} = 4\end{array}\]
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 10 :
Đạo hàm của hàm số \[y = \cos 2x + 1\] là
- A \[y' = - \sin 2x.\]
- B \[y' = 2\sin 2x.\]
- C \[y' = - 2\sin 2x + 1.\]
- D \[y' = - 2\sin 2x.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
\[\left[ {\cos kx} \right]' = - k\sin kx\]
Lời giải chi tiết:
\[y' = \left[ {\cos 2x + 1} \right]' = - 2\sin 2x\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 11 :
Đạo hàm của hàm số \[y = \sin \left[ {2x} \right] - 2\cos x\] là
- A \[y' = - 2\cos 2x - 2\sin x\]
- B \[y' = \cos 2x + 2\sin x\]
- C \[y' = 2\cos 2x - 2\sin x\]
- D \[y' = 2\cos 2x + 2\sin x\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \[\left[ {\sin x} \right]' = \cos x,\,\,\left[ {\cos x} \right]' = - \sin x\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y' = 2\cos 2x + 2\sin x\].
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 12 :
Đạo hàm của hàm số \[y = \cos x\] là:
- A \[y' = \sin x.\]
- B \[y' = \tan x.\]
- C \[y' = \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}}.\]
- D \[y' = - \sin x.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính đạo hàm \[\left[ {\cos x} \right]' = - \sin x\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\left[ {\cos x} \right]' = - \sin x\].
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 13 :
Đạo hàm của hàm số \[y={{\cos }{2}}\left[ {{\sin }{3}}x \right]\] là biểu thức nào sau đây?
- A \[-\sin \left[ 2{{\sin }{3}}x \right]{{\sin }{2}}x\cos x\]
- B \[-6\sin \left[ 2{{\sin }{3}}x \right]{{\sin }{2}}x\cos x\]
- C \[-7\sin \left[ 2{{\sin }{3}}x \right]{{\sin }{2}}x\cos x\]
- D \[-3\sin \left[ 2{{\sin }{3}}x \right]{{\sin }{2}}x\cos x\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+] Sử dụng công thức hạ bậc \[{{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\]
+] Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y = \frac{{1 + \cos \left[ {2{{\sin }^3}x} \right]}}{2}\\ \Rightarrow y' = \frac{1}{2}.\left[ { - \sin \left[ {2{{\sin }^3}x} \right]} \right].\left[ {2{{\sin }^3}x} \right]'\\ = \frac{{ - 1}}{2}\sin \left[ {2{{\sin }^3}x} \right].2.3{\sin ^2}x\left[ {\sin x} \right]'\\ = - 3\sin \left[ {2{{\sin }^3}x} \right].{\sin ^2}x.\cos x\end{array}\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 14 :
Đạo hàm của hàm số \[y=\sqrt{\cot x}\] là:
- A \[\frac{-1}{{{\sin }^{2}}x\sqrt{\cot x}}\]
- B \[\frac{-1}{2{{\sin }^{2}}x\sqrt{\cot x}}\]
- C \[\frac{1}{2\sqrt{\cot x}}\]
- D \[\frac{-2\sin x}{2\sqrt{\cot x}}\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \[\left[ \sqrt{u} \right]'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y'=\frac{\left[ \cot x \right]'}{2\sqrt{\cot x}}=\frac{-\frac{1}{{{\sin }{2}}x}}{2\sqrt{\cot x}}=\frac{-1}{{{\sin }{2}}x\sqrt{\cot x}}\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 15 :
Đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt {1 + 2\tan x} \] là:
- A \[y' = {1 \over {{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\]
- B \[y' = {1 \over {{{\sin }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\]
- C \[y' = {{1 + 2\tan x} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\]
- D \[y' = {1 \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp: \[\left[ {\sqrt u } \right]' = {{u'} \over {2\sqrt u }}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y' = {{\left[ {1 + 2\tan x} \right]'} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }} = {{{2 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }} = {1 \over {{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\]
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 16 :
Tính đạo hàm của hàm số \[y = {\sin ^2}3x\].
- A \[y' = 6\cos 6x\].
- B \[y' = 3\cos 6x\].
- C \[y' = 6\sin 6x\].
- D \[y' = 3\sin 6x\].
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Công thức đạo hàm hàm hợp: \[y = f\left[ {u[x]} \right]\,\, \Rightarrow \,\,y' = f'\left[ {u[x]} \right].u'[x]\].
Lời giải chi tiết:
\[y = {\sin ^2}3x \Rightarrow y' = 2.\sin 3x.\left[ {\sin 3x} \right]' = 2.\sin 3x.3.\cos 3x = 3\sin 6x\]
Chọn: D
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 17 :
Đạo hàm của hàm số \[y = \sin \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right]\] là:
- A \[ - 4\cos 4x\]
- B \[4\cos 4x\]
- C \[4\sin 4x\]
- D \[ - 4\sin 4x\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\left[ {\sin f\left[ x \right]} \right]' = f'\left[ x \right]\cos f\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\[\begin{array}{l}\left[ {\sin \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right]} \right]' = \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right]'\cos \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right] = - 4\cos \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right]\\ = - 4\cos \left[ {\pi + \dfrac{\pi }{2} - 4x} \right] = - 4\left[ { - \cos \left[ {\dfrac{\pi }{2} - 4x} \right]} \right] = - 4\left[ { - \sin 4x} \right] = 4\sin 4x\end{array}\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 18 :
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {\cos ^2}\left[ {2x} \right]\]. Tính \[f'\left[ {\dfrac{\pi }{8}} \right]\].
- A \[1\]
- B \[2\]
- C \[ - 1\]
- D \[ - 2\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm hợp: \[\left[ {{u^n}} \right]' = n.{u^{n - 1}}.u',\,\,\left[ {\cos \left[ {kx} \right]} \right]' = - k\sin kx\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = 2\cos \left[ {2x} \right]\left[ {\cos \left[ {2x} \right]} \right]' = 2\cos \left[ {2x} \right]\left[ { - 2\sin 2x} \right] = - 2\sin 4x\\ \Rightarrow f'\left[ {\dfrac{\pi }{8}} \right] = - 2\sin \dfrac{\pi }{2} = - 2\end{array}\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 19 :
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x}\] bằng :
- A \[ - 1\]
- B \[\dfrac{2}{3}\]
- C \[ - 2\]
- D \[0\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3.\sin 3x}}{{3x}} = 1 - 3 = - 2\].
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 20 :
Với \[x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\], hàm số \[y = 2\sqrt {\sin x} - 2\sqrt {\cos x} \] có đạo hàm là:
- A \[y' = \dfrac{1}{{\sqrt {\sin x} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {\cos x} }}\].
- B \[y' = \dfrac{1}{{\sqrt {\sin x} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {\cos x} }}\].
- C \[y' = \dfrac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} - \dfrac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\].
- D \[y' = \dfrac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} + \dfrac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\].
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Đạo hàm: \[\left[ {\sqrt {u\left[ x \right]} } \right]' = \dfrac{{\left[ {u\left[ x \right]} \right]'}}{{2\sqrt {u\left[ x \right]} }}\].
Lời giải chi tiết:
\[y' = \dfrac{{2\left[ {\sin \,x} \right]'}}{{2\sqrt {\sin x} }} - \dfrac{{2\left[ {\cos x} \right]'}}{{2\sqrt {\cos x} }} = \dfrac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} + \dfrac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\].
Chọn: D
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 21 :
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Câu 1: \[y = \tan x - 2{x^3}\]
- A \[y' =- \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 6{x^2}\]
- B \[y' =- \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 6{x^2}\]
- C \[y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 6{x^2}\]
- D \[y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 6{x^2}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp.
Lời giải chi tiết:
\[y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 6{x^2}\]
Đáp án - Lời giải
Câu 2: \[y = x.\sin x + \sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} \]
- A \[y' = \sin x + x\cos x + \dfrac{{ - \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\]
- B \[y' = \sin x + x\cos x - \dfrac{{ - \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\]
- C \[y' = \sin x - x\cos x + \dfrac{{ - \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\]
- D \[y' = \sin x - x\cos x - \dfrac{{ - \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}y' = \sin x + x\cos x + \dfrac{{2\cos 2x.\left[ { - 2\sin 2x} \right]}}{{2\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\\\,\,\,\,\,\, = \sin x + x\cos x + \dfrac{{ - \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\end{array}\]
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 22 :
Hàm số \[y = \tan x - \cot x + \cos \dfrac{x}{5}\] có đạo hàm bằng:
- A \[\dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\]
- B \[\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\]
- C \[\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\]
- D \[\dfrac{1}{{\cos x}} + \dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính đạo hàm
\[\begin{array}{l}\left[ {\tan x} \right]' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}},\,\,\left[ {\cot x} \right]' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}},\,\,\\\left[ {\sin kx} \right]' = k\cos kx,\,\,\left[ {\cos kx} \right]' = - k\sin kx\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\].
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 23 :
Đạo hàm của hàm số \[y = \tan 3x\] bằng:
- A \[\dfrac{{ - 3}}{{{{\sin }^2}3x}}\]
- B \[\dfrac{{ - 3}}{{{{\cos }^2}3x}}\]
- C \[\dfrac{3}{{{{\cos }^2}3x}}\]
- D \[\dfrac{1}{{{{\cos }^2}3x}}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \[\left[ {\tan x} \right]' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[y' = \left[ {\tan 3x} \right]' = \dfrac{{\left[ {3x} \right]'}}{{{{\cos }^2}3x}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}3x}}\].
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 24 :
Đạo hàm của hàm số \[y = \sin 2x\] bằng
- A \[y' = \cos 2x.\]
- B \[y' = 2\cos 2x.\]
- C \[y' = - 2\cos 2x.\]
- D \[y' = - \cos 2x.\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\left[ {\sin kx} \right]' = k\cos kx\].
Lời giải chi tiết:
\[y' = \left[ {\sin 2x} \right]' = 2\cos 2x\].
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 25 :
Cho hàm số \[f\left[ x \right]=\sin 2x.\] Tính \[{f}'\left[ \frac{\pi }{6} \right].\]
- A \[\frac{\sqrt{3}}{2}.\]
- B \[\sqrt{3}.\]
- C \[\frac{1}{2}.\]
- D \[1.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có \[f\left[ x \right]=\sin 2x\Rightarrow {f}'\left[ x \right]=2\cos 2x\Rightarrow {f}'\left[ \frac{\pi }{6} \right]=2.\cos \frac{\pi }{3}=1.\]
Chọn D
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 26 :
Đạo hàm của hàm số \[y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\] là:
- A \[y' = 2{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + 2{{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}}\]
- B \[y' = 2{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} - 2{{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}}\]
- C \[y' = 2{{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} + 2{{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}}\]
- D \[y' = 2\tan x - 2\cot x\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \[{a^2} - {b^2} = \left[ {a - b} \right]\left[ {a + b} \right]\], sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 tích: \[\left[ {uv} \right]' = u'v + uv'\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{ & y = {\tan ^2}x - co{t^2}x = \left[ {\tan x - \cot x} \right]\left[ {\tan x + \cot x} \right] \cr & y' = \left[ {\tan x - \cot x} \right]'\left[ {\tan x + \cot x} \right] + \left[ {\tan x - \cot x} \right]\left[ {\tan x + \cot x} \right]' \cr & y' = \left[ {{1 \over {{{\cos }^2}x}} + {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right]\left[ {\tan x + \cot x} \right] + \left[ {\tan x - \cot x} \right]\left[ {{1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right] \cr & y' = {{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} - {{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} - {{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr & y' = 2{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + 2{{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr} \]
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 27 :
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \tan \left[ {x - {{2\pi } \over 3}} \right]\]. Giá trị \[f'\left[ 0 \right]\] bằng:
- A \[ - \sqrt 3 \]
- B \[4\]
- C \[-3\]
- D \[ \sqrt 3 \]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\tan \left[ {a - b} \right] = {{\tan a - \tan b} \over {1 + \tan a.\tan b}}\], sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \[\left[ {{u \over v}} \right]' = {{u'v - uv'} \over {{v^2}}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{ & f\left[ x \right] = \tan \left[ {x - {{2\pi } \over 3}} \right] = {{\tan x - \tan {{2\pi } \over 3}} \over {1 + \tan x.\tan {{2\pi } \over 3}}} = {{\tan x + \sqrt 3 } \over {1 - \sqrt 3 \tan x}} \cr & f'\left[ x \right] = {{\left[ {\tan x + \sqrt 3 } \right]'\left[ {1 - \sqrt 3 \tan x} \right] - \left[ {\tan x + \sqrt 3 } \right]\left[ {1 - \sqrt 3 \tan x} \right]'} \over {{{\left[ {1 - \sqrt 3 \tan x} \right]}^2}}} \cr & f'\left[ x \right] = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}}\left[ {1 - \sqrt 3 \tan x} \right] - \left[ {\tan x + \sqrt 3 } \right]\left[ { - {{\sqrt 3 } \over {{{\cos }^2}x}}} \right]} \over {{{\left[ {1 - \sqrt 3 \tan x} \right]}^2}}} \cr & f'\left[ x \right] = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sqrt 3 \tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sqrt 3 \tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {3 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left[ {1 - \sqrt 3 \tan x} \right]}^2}}} \cr & f'\left[ x \right] = {4 \over {{{\cos }^2}x{{\left[ {1 - \sqrt 3 \tan x} \right]}^2}}} \cr & \Rightarrow f'\left[ 0 \right] = {4 \over {1\left[ {1 - \sqrt 3 .0} \right]}} = 4 \cr} \]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 28 :
Hàm số \[y = {\tan ^2}{x \over 2}\] có đạo hàm là:
- A \[y' = {{\sin {x \over 2}} \over {2{{\cos }^3}{x \over 2}}}\]
- B \[y' = {\tan ^3}{x \over 2}\]
- C \[y' = {{\sin {x \over 2}} \over {co{s^3}{x \over 2}}}\]
- D \[y' = {{2\sin {x \over 2}} \over {{{\cos }^3}{x \over 2}}}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
\[{\tan ^2}{x \over 2} = {{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}}\], sử dụng các công thức hạ bậc, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \[\left[ {{u \over v}} \right]' = {{u'v - uv'} \over {{v^2}}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{ & {\tan ^2}{x \over 2} = {{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}} = {{{{1 - \cos x} \over 2}} \over {{{1 + \cos x} \over 2}}} = {{1 - \cos x} \over {1 + \cos x}} \cr & \Rightarrow y' = {{\left[ {1 - \cos x} \right]'\left[ {1 + \cos x} \right] - \left[ {1 - \cos x} \right]\left[ {1 + \cos x} \right]'} \over {{{\left[ {1 + \cos x} \right]}^2}}} \cr & y' = {{\sin x\left[ {1 + \cos x} \right] - \left[ {1 - \cos x} \right]\left[ { - \sin x} \right]} \over {{{\left[ {1 + \cos x} \right]}^2}}} \cr & y' = {{\sin x + \sin x\cos x + \sin x - \sin x\cos x} \over {{{\left[ {1 + \cos x} \right]}^2}}} \cr & y' = {{2\sin x} \over {{{\left[ {1 + \cos x} \right]}^2}}} \cr & y' = {{4\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {{{\left[ {2{{\cos }^2}{x \over 2}} \right]}^2}}} = {{\sin {x \over 2}} \over {{{\cos }^3}{x \over 2}}} \cr} \]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 29 :
Xét hàm số \[f\left[ x \right]=\sqrt[3]{\cos 2x}\]. Chọn câu sai?
- A \[f\left[ \frac{\pi }{2} \right]=-1\]
- B \[f'\left[ x \right]=\frac{-2\sin 2x}{3\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}2x}}\]
- C \[f'\left[ \frac{\pi }{2} \right]=1\]
- D \[3{{f}^{2}}\left[ x \right]f'\left[ x \right]+2\sin 2x=0\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \[\left[ {{u}{n}} \right]'=n{{u}{n-1}}.u'\]
Lời giải chi tiết:
Đáp án A đúng vì \[f\left[ \frac{\pi }{2} \right]=\sqrt[3]{\cos \pi }=-1\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\f\left[ x \right] = {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\f\left[ x \right] = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow f'\left[ x \right] = - \dfrac{1}{2}.2\sin 2x\left[ {\sin 2x} \right]'\\\,\,\,\,\,\,f'\left[ x \right] = - 2\sin 2x\cos 2x\\\,\,\,\,\,\,f'\left[ x \right] = - \sin 4x\\g\left[ x \right] = \dfrac{1}{4}\cos 4x\\ \Rightarrow g'\left[ x \right] = - \dfrac{1}{4}.4\sin 4x = - \sin 4x\end{array}\]