Bài toán ứng dụng hệ phương trình tuyến tính

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ LÝ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. ĐINH THỊ KIM THÚY HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Hình học  Khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội II, Thư viện Quốc gia, Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội II đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong thời gian em làm đề tài. Em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô ĐINH THỊ KIM THÚY, người đã chỉ bảo và hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc để em có thể hoàn thành đề tài. Cảm ơn gia đình và những người bạn đã giúp đỡ, động viên em trong quá trình hoàn thành đề tài. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Lý LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu, tôi đã thừa kế những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Lý MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 NỘI DUNG 2 CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2 1.1. Không gian vectơ 2 1.2. Ma trận 5 1.3. Định thức 6 CHƢƠNG 2: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9 2.1. Các khái niệm cơ bản 9 2.2. Hệ phương trình Cramer 11 2.3. Định lý Kronecker-Capelli 13 2.4. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 13 2.5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 19 BÀI TẬP VẬN DỤNG 24 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Error! Bookmark not defined. 3.1. Xét sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của một hệ vectơ 31 3.2. Tìm tọa độ của vectơ đối với một cơ sở 32 3.3. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng 34 3.4. Đổi tọa độ afin 37 3.5. Đổi tọa độ xạ ảnh 42 3.6. Mô hình cân bằng thị trường. 46 BÀI TẬP VẬN DỤNG 51 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 1 LỜI NÓI ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Có thể nói đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán nói chung Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng. Trong đó không thể nhắc đến lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính và một số ứng dụng của nó. Hệ phương trình tuyến tính được hoàn thiện nhờ không gian vectơ, ma trận và định thức. Nó có rất nhiều ứng dụng không những trong nhiều ngành toán học khác nhau như: Đại số, Hình học, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Qui hoạch tuyến tính và còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác. Chính vì lý do đó em đã chọn đề tài: “Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng” để làm đề tài khóa luận cho mình. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về hệ phương trình tuyến tính. Đưa ra một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và hệ thống các ví dụ minh họa cho mỗi ứng dụng. 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức về hệ phương trình tuyến tính. Phạm vi nghiên cứu: lý thuyết và một số ứng dụng về hệ phương trình tuyến tính. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày cơ sở lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính. Đề xuất một số dạng toán thường gặp về hệ phương trình tuyến tính, ứng dụng và ví dụ minh họa. 5. Các phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học. Nghiên cứu các tài liệu liên quan. 2 NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1. Không gian vectơ 1.1.1. Không gian vectơ Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là , , …và K là một trường. Giả sử V được trang bị hai phép toán, gồm: a] Phép cộng: +: V × V →V, [,] ↦ , b] Phép nhân: .: K × V →V, [, ] ↦ ., thỏa mãn những điều kiện [hoặc tiên đề] sau đây: [V1] [] = + [], ,,V [V2] 0V: 0   =   0 = , V [V3] V, V:    =   = 0 [V4]    =   , ,V [V5] [  ] =   , ,   K, V [V6] [] =   ,   K, ,V [V7] [] = [], ,   K, V [V8] 1. = , V Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian vectơ trên trường K hay K - không gian vectơ [gọi tắt là không gian vectơ]. Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K gọi là các vô hướng. Phép cộng “+” gọi là phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi là phép nhân vectơ với vô hướng. Khi K = R thì V được gọi là không gian vectơ thực. Khi K = C thì V được gọi là không gian vectơ phức. 3 1.1.2. Không gian vectơ con Giả sử V là một K - không gian vectơ và W là một tập con của V. Ta nói tập W là ổn định [hay đóng kín] đối với hai phép toán trên V nếu:  W , W  W   K,  W Ta nói tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với hai phép toán trên V và cùng với hai phép toán của V hạn chế trên nó, W cũng là một không gian vectơ trên trường K. Định lý 1: Giả sử W là một tập con của K - không gian vectơ V. Thế thì W là một không gian vectơ con của V khi và chỉ khi W   và W ổn định đối với hai phép toán của V. Chứng minh Điều kiện cần suy trực tiếp từ định nghĩa trên. Để chứng minh điều kiện đủ, ta cần chứng minh rằng W cùng với hai phép toán của V thu hẹp trên nó, là một K - không gian vectơ, tức là nó thỏa mãn 8 tiên đề về không gian vectơ. Các tiên đề [V1], [V4], [V5], [V6], [V7], [V8] được nghiệm đúng với mọi phần tử của V nên chúng cũng nghiệm đúng với mọi phần tử của W. Vì W  , nên có ít nhất một phần tử  W. Khi đó 0 = 0 W. Phần tử 0 V đóng vai trò phần tử 0W. Mặt khác, với mọi  W, ta có [] = [1]W. Đó cũng chính là phần tử đối của  trong W. 1.1.3. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Cho V là một không gian vectơ trên trường K. a] Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1,2,…,n V là một biểu thức dạng: 1niii= 11… n,n 4 trong đó: 1,…, n  K. b] Giả sử = 11… nnV. Đẳng thức đó được gọi là một biểu thị tuyến tính của  qua hệ vectơ [1,2,…,n]. Khi có đẳng thức đó, ta nói  biểu thị tuyến tính được qua các vectơ 1,2,…,n. c] Hệ vectơ [1,2,…,n] được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức: 11…nn= 0 chỉ xảy ra khi 1 =…= n = 0. d] Hệ vectơ [1,2,…,n] được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ đó không độc lập tuyến tính. 1.1.4. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Cơ sở a] Một hệ vectơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó. b] Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này. Số chiều a] Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh V   0 được gọi là số chiều của V trên trường K và kí hiệu là dimV hay rõ hơn dimKV. Nếu V =  0, ta còn quy ước dimV = 0. b] Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều. Tọa độ của vectơ Cho [e] = 1e,2e,…,ne là một cơ sở của K - không gian vectơ n chiều V. Lúc đó, mỗi vectơ  V đều có biểu thị tuyến tính duy nhất:  = x11e+ x22e+…+ xn,ne xi  K, i = 1, 2,…, n 5 Ta gọi bộ vô hướng [x1, x2,…, xn] là tọa độ của vectơ  trong cơ sở [hay đối với cơ sở] [e] = 1e,2e,…,ne. Vô hướng xi được gọi là tọa độ thứ i của  trong cơ sở đó. 1.2. Ma trận Cho K là một trường tùy ý. Một bảng gồm m.n phần tử aij  K có dạng: 11 12 121 22 212nnm m mna a aa a aa a a [1] được gọi là một ma trận kiểu [m, n]. Mỗi aij được gọi là một thành phần của ma trận. Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B, … Ma trận [1] có thể kí hiệu đơn giản bởi A = [aij]mn, trong đó i = 1, m chỉ số dòng và j = n,1 chỉ số cột của phần tử. Tập hợp tất cả các ma trận kiểu [m, n] với các phần tử thuộc trường K được kí hiệu là Mat[m n, K].  Khi m = n thì ma trận A = [aij]mn được gọi là ma trận vuông cấp n và kí hiệu là A = [aij]n.  Khi m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng và n cột, được gọi là ma trận dòng.  Khi n = 1 thì ma trận chỉ có một cột và m dòng, được gọi là ma trận cột. Hạng của ma trận  Hệ con độc lập tuyến tính tối đại: Cho một hệ vectơ  iiIacủa không gian vectơ V. Một hệ vectơ con  ,jjJa J  I [của hệ đó] được gọi là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là một hệ vectơ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ vectơ k nào [k  I \ J] vào hệ con đó thì ta đều nhận được một hệ phụ thuộc tuyến tính. 6  Hạng của một hệ vectơ: Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V. Ta gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ vectơ đã cho. Kí hiệu hạng của hệ vectơ [1,2,…,n] là rank[1,2,…,n].  Hạng của ma trận: Cho A  Mat[nn, K]. Coi mỗi cột [hay dòng] của A là một hệ vectơ ta được hệ n vectơ [tương ứng m vectơ] của không gian vectơ Kn [tương ứng Km]. Ta gọi hạng của hệ n [tương ứng m] vectơ này là hạng của ma trận A và kí hiệu là rankA. Như vậy hạng của ma trận được định nghĩa là hạng của hệ vectơ cột [hạng hệ vectơ dòng] của nó. 1.3. Định thức Định thức của ma trận vuông cấp n: A = [aij]n được gọi là định thức cấp n và kí hiệu detA hay A   Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu chọn k dòng và k cột của A[1kn] thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.  Định thức M của ma trận vuông cấp n  k nhận được sau khi xóa đi k dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M.  Nếu k dòng đã chọn là i1,…, ik và k cột đã chọn là j1,…, jk thì ta gọi   1[ 1] [ ].kqqqi j M là phần bù đại số của định thức con M. Khi k = 1 thì phần bù đại số của định thức con cấp một M = det[aij] = aij cũng được gọi là phần bù đại số của phần tử aij. Nó bằng [1]i jMij với Mij là định thức của ma trận vuông cấp [n  1] có được bằng cách xóa đi dòng i, cột j của ma trận A. Ta kí hiệu phần bù đại số của phần tử aij là Aij. Khi đó ta có: Aij = [1]i jMij. Vậy ta có công thức: detA = ai1Ai1 … ainAin [khai triển detA theo dòng i] hay detA = a1jA1j … anjAnj [khai triển detA theo cột j]. 7 Ví dụ. Xét định thức D =1 2 3 20 2 4 11 5 1 40 5 2 1 khi đó: Định thức D1 =1202= 2 được gọi là định thức con cấp 2 của D. Định thức con bù của D1 là 1D =1421= 7. Ta có: M11 =2 4 15 1 45 2 1 khi đó phần bù đại số của phần tử a11 = 1 của định thức D là : A11 = [1]11M11 =2 4 15 1 45 2 1= 51. Để tính định thức trên ta thực hiện phép biến đổi: 13[ 1]1 2 3 2 1 2 3 20 2 4 1 0 2 4 11 5 1 4 0 3 2 20 5 2 1 0 5 2 1DDD  Khai triển định thức theo cột 1, ta có: 112 4 11.[ 1] 3 2 2 325 2 1D    8 Định lý 2: Cho A = [aij]mn. Nếu detA  0 thì A khả nghịch và: A1 =11 21 112 22 2121detnnn n nnA A AA A AAA A A trong đó Aij là phần bù đại số của aij ,Adet1= [detA]1 K. Chứng minh: Xét ma trận A =11 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AA A A gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Ta có: ai1Ai1 … ainAin= detA, i Với mọi j  i, xét ma trận có được từ A bằng cách thay dòng j bởi dòng i còn các dòng khác giữ nguyên, kể cả dòng i thì ma trận này có định thức bằng 0. Khai triển định thức của ma trận mới này theo dòng j ta có: ai1Aj1  ai2Aj2 … ainAjn = 0, i  j Từ hai đẳng thức trên suy ra: A.tA= [detA].En. Tương tự, bằng cách khai triển các định thức theo cột, ta sẽ nhận được: tA.A = [detA].En. Vậy, khi detA  0 thì A khả nghịch và A-1 =1det AtA.  9 CHƢƠNG 2: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. Các khái niệm cơ bản 2.1.1. Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính của n ẩn x1, x2,…, xn có dạng: 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2 nnnnm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b          [1] trong đó các aij, bi là các phần tử cho trước thuộc trường K được gọi là một hệ phương trình tuyến tính trên trường K. Các aij được gọi là các hệ số của ẩn, các bi được gọi là các hệ số tự do. Một nghiệm của hệ [1] là một bộ n số [c1, c2,…, cn]  K sao cho khi thay x1 = c1, x2 = c2,…, xn = cn thì mọi đẳng thức trong hệ [1] là những đẳng thức đúng.  Dạng ma trận Ta có ma trận A =11 12 121 22 212nnm m mna a aa a aa a a được gọi là ma trận các hệ số [hoặc ma trận liên kết] của [1], còn ma trận Abs =11 1 121 2 21nnm mn ma a ba a ba a b là ma trận bổ sung của hệ [1] hay ma trận các hệ số mở rộng của [1]. 10 Đặt : X = 12nxxx và b = 12mbbb Thì ta có thể viết gọn hệ [1] dưới dạng: AX = b.  Dạng vectơ Ta có thể viết gọn hệ [1] dưới dạng: 1,nij j ija x b i= 1, 2,…, m Nếu coi mỗi cột của ma trận Abs như một vectơ trong không gian Km, chẳng hạn: j= [a1j, a2j,…, amj], 1,jn  = [b1, b2,…, bn] Thì ta cũng có thể viết hệ [1] dưới dạng : 1x1  2x2 … nxn =  và gọi là dạng vectơ của hệ [1]. 2.1.2. Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng Định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Phép biến đổi tương đương: Một phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình tuyến tính nếu nó không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình đã cho. Các phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình tuyến tính bao gồm: - Đổi chỗ hai phương trình bất kỳ cho nhau. - Nhân vào cả hai vế của một phương trình với một số khác 0. 11 - Cộng vào cả hai vế của một phương trình tương ứng với tổ hợp tuyến tính các phương trình còn lại. 2.2. Hệ phƣơng trình Cramer 2.2.1. Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính Ax =  được gọi là một hệ Cramer nếu nó có số phương trình bằng số ẩn [nói cách khác, nếu A là một ma trận vuông] và nếu detA  0. 2.2.2. Giải hệ Cramer Định lý: Hệ phương trình Cramer Ax =  có một nghiệm duy nhất được tính bằng công thức: xj =detdetjAA,[1 ]jn trong đó Aj là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do . Chứng minh. Vì detA  0 nên A là một ma trận khả nghịch. Ta có: Ax =   A-1Ax = A-1  x = A-1. Theo Định lý 2 ta có: A-1= 11 21 112 22 2121detnnn n nnA A AA A AAA A A trong đó Aij là phần bù đại số của aij trong detA. Từ đó: x = A-1 111[ ]det1, ,j j nj nx A b A bAjn   detdet1, ,jjAxAjn 12 Đó là vì khai triển định thức Aj theo cột thứ j ta có được: detAj = b1A1j  b2A2j … bnAnj.  Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: 1 2 31 2 31 2 312 2 132x x xx x xx x x       Lời giải Ta có: detA = 1 1 12 1 21 1 3=1 1 12 1 20 0 2= 21121= 2  0 Vậy hệ phương trình đã cho là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất. Ta có: detA1 = 1 1 11122 1 3= 1 detA2 = 1112 1 21 2 3= 2 detA3 = 1 1 1211112= 1 x1 = 1detdetAA = 12; x2 = 2detdetAA = 1; x3 = 3detdetAA = 12 Vậy nghiệm duy nhất của hệ là [12, 1, 12]. 13 2.3. Định lý Kronecker-Capelli Hệ phương trình tuyến tính: 1[1]1, ,nij j ija x bim có nghiệm khi và chỉ khi rankA = rankAbs. Chứng minh. Xét hệ phương trình đã cho dưới dạng vectơ: 1[2]niiix Nếu hệ [2] có nghiệm thì  là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ [1,2,…,n] do đó hạng của hệ [1,2,…,n] bằng hạng của hệ [1,2,…,n,]. Vậy rankA = ranhAbs. Ngược lại, nếu rankA = rankAbs thì hạng của hệ [1,2,…,n] bằng hạng của hệ [1,…,n,]. Do đó, nếu [1i,…,ir] là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ [1,2,…,n] thì nó cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ [1,…,n,]. Cho nên  biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ [1i,…,ir], bởi vậy  biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ [1,…,n]. Suy ra hệ [2] có nghiệm.  2.4. Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính 2.4.1. Phương pháp định thức Cho hệ phương trình tuyến tính: 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2 [1] nnnnm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b          14 Theo Định lý 1.3, nếu rankA  rankAbs thì hệ vô nghiệm. Giả sử rằng rankA = rankAbs = r không giảm tính tổng quát, có thể coi [1,2,…,r] [3] là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hai hệ vectơ [1,2,…,r] và vectơ [1,2,…,n,]. Ta có: 1 1 1n r ni i i i j ji i j rx x x             Với mỗi bộ n  r phần tử cr1,…, cn K, ta có vectơ 1njjjrxbiểu thị tuyến tính được qua hệ [3], vì  và các , 1, ,ij r n đều biểu thị tuyến tính được qua hệ [3], cho nên tồn tại r phần tử c1, c2,…, cr  K để: 11rni i j ji j rcc     Khi đó ta có [c1,…, cr, cr1,…, cn] là một nghiệm của hệ phương trình. Do hệ [3] độc lập tuyến tính nên r phần tử [c1, c2,…, cr] được xác định một cách duy nhất phụ thuộc vào n  r phần tử [cr1,…, cn] đã cho. Suy ra: - Nếu r = n thì hệ có nghiệm duy nhất. - Nếu r  n thì hệ có vô số nghiệm. Với giả thiết như trên, gọi n  r ẩn xr1,…, xn là các ẩn tự do. Khi cho mỗi lần xr1 = cr1,…, xn= cn ta tìm được một nghiệm [c1,…, cr, cr1,…, cn] của hệ. Nếu coi [cr1,…, cn] có thể nhận những giá trị tùy ý thì nghiệm đó là nghiệm tổng quát của hệ. Để tìm nghiệm tổng quát của hệ, coi n  r ẩn [xr1,…, xn] như những tham số rồi giải hệ gồm r phương trình với r ẩn x1,…, xr: 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 r r r r n nr rr r r rr r rn na x a x b a x a xa x a x b a x a x           15 và giải hệ này theo công thức Cramer. Ví dụ. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp định thức: 3 4 35 2 12 3 2 32 3 11 5 2x y z tx y z tx y z tx y z t               Lời giải Ta có: detA = 1 1 3 41 1 5 22 1 3 22 3 11 5=1 1 3 40 0 2 20 1 3 60 1 5 3   = 0 2 2 0 2 21 3 6 0 2 91 5 3 1 5 3     = [1]3+12229= 2.[9]2.[2] = 14. Do 40A   nên hệ có nghiệm duy nhất. Ta có: detA1 =3 1 3 41 1 5 23 1 3 22 3 11 5= 28; detA2 = 1 3 3 41 1 5 22 3 3 22 2 11 5= 0; detA3 =1 1 3 41 1 1 22 1 3 22 3 2 5= 14; detA4 =1 1 3 31 1 5 12 1 3 32 3 11 2= 14; x = 1detdetAA= 2; y =2detdetAA=0; 16 z = 3detdetAA= 1; t =4detdetAA= 1; Vậy nghiệm duy nhất của hệ là [2,0,1,1]. 2.4.2. Phương pháp Gauss Xét hệ phương trình tuyến tính: 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2 nnnnm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b          Giả sử có một hệ số aij  0. Nếu cần có thể đổi chỗ các phương trình và đánh số lại các ẩn, nên không giảm tính tổng quát ta có thể coi a11  0. Khi đó, nhân hai vế của phương trình đầu với 111a ta được hệ số của x1 trong phương trình thứ nhất của hệ bằng 1. Sau đó nhân phương trình này với ai1 rồi cộng vào phương trình thứ i, lần lượt với i = 2,…, m ta nhận được phương trình tương đương có dạng: 1 12 2 1 122 2 2 22 nnnnm mn n mx a x a x ba x a x ba a x b              Lặp lại lập luận trên đối với hệ con gồm [m  1] phương trình với các ẩn x2,…, xn. Sau một số hữu hạn bước, hệ phương trình đã cho được đưa về một hệ phương mới, tương đương, mà ma trận bổ sung của nó có dạng: 17 1211010 0 10 0 0 0 00 0 0 0 0rrmbbbbb      Các dấu  kí hiệu những phần tử có thể khác 0 trong trường K. Nếu có một trong các hệ số tự do 1, ,rmbb khác 0 thì hệ vô nghiệm. Nếu1 0rmbb   thì hệ phương trình có nghiệm. Mỗi nghiệm của phương trình nhận được bằng cách gán cho xr1,…, xn những giá trị tùy ý của trường K [nếu n  r] rồi giải duy nhất x1,…, xr theo những giá trị đã gán cho xr1,…, xn. Cụ thể xr được tìm từ phương trình thứ r trước, sau đó xr1 được tìm từ phương trình thứ r  1,…, x1 được tìm từ phương trình thứ nhất. Ví dụ. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 51 2 3 513213 3 3 4x x x x xx x x x xx x x xx x x x               Lời giải Ta thực hiện các phép biến đổi: Abs =1 1 1 1 1 11 1 3 1 1 21 1 1 0 1 13 1 3 0 3 42131313DDDDDD1 1 1 1 1 10 2 4 2 0 10 2 2 1 0 00 4 6 3 0 1 18 32422DDDD1 1 1 1 1 10 2 4 2 0 10 0 2 1 0 10 0 2 1 0 1    1 1 1 1 1 10 2 4 2 0 10 0 2 1 0 10 0 0 0 0 0   Hệ đã cho tương đương với hệ: 1 2 3 4 52 3 4341 [1]2 4 2 1 [2]2 1 [3]x x x x xx x xxx           Từ [3]  x3 =12x4  12 Thay x3 vào [2] ta được: x2 =12 Thay x3 vào [1] ta được x1 =12x4  x5 1 Cho x4 = c4, x5 = c5, hệ có nghiệm tổng quát: [12c4  c5  1,12, 12c4  12, c4, c5]. Chú ý: Phương pháp khử Gauss được ứng dụng vào việc tìm ma trận nghịch đảo và từ đó ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Ax = b, A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Khi đó nghiệm của hệ phương trình là: X = A1b. [] Ví dụ: Giải hệ phương trình 213321x y zyzx y z      Lời giải Ma trận hệ số A và cột số hạng tự do b của hệ phương trình này là: 19 A =2 1 10 1 32 1 1, b = 131 Ta thấy rankA = rankAbs = 3, hệ có nghiệm. Do A = 4  0 nên ma trận nghịch đảo của ma trận A là: A-1 =2 2 416 4 642 0 2 Áp dụng công thức [] ta có: X = 123xxx= A1b =2 2 416 4 642 0 2131= 1412244= 361 Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là: 123361xxx 2.5. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất 2.5.1. Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình tuyến tính có dạng: 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2 0 0 0nnnnm m mn na x a x a xa x a x a xa x a x a x          [1] 2.5.2. Không gian các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định lý: Tập hợp L tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất [1] là một không gian vectơ con của không gian vectơ Kn, số chiều là dimL= n  rankA, trong đó A = [aij]mn là ma trận các hệ số. 20 Chứng minh. Rõ ràng L  Kn và L   vì nghiệm tầm thường [0, 0,…, 0]  L. Giả sử = [c1, , cr,…,cn] và  = [d1,…, dr,…, dn] thuộc L và k  K. Khi đó, viết hệ [1] dưới dạng vectơ: x11… xrr… xnn= 0 Ta có: c11… crr… cnn= 0 d11… drr… dnn= 0 Do đó: [c1  d1]1… [cr  dr]r… [cn  dn]n = 0, [kc1]1  [kcr]r… [kcn]n = k[c11… crr… cnn] = k.0 = 0; nghĩa là [c1  d1,…, cr  dr,…, cn  dn] =   [kc1,…, kcr,…, kcn] = k là những nghiệm của hệ [1] hay:  L, k L. Vậy L là một không gian con của Kn. Giả sử rankA = r. Nếu r = n thì L = 0 = [0, 0,…, 0]. Do đó dimL = 0. Nếu r  n, không giảm tính tổng quát có thể giả thiết định thức con cấp r góc trên bên trái của ma trận A khác 0: 11 11rr rraaaa 0 Khi đó, hệ phương trình có n – r ẩn tự do: xr1,…, xn. Xét hệ n – r vectơ sau trong L: 21 1 = [c11,…, c1r, 1, 0,…, 0] 2 = [c21,…, c2r, 0, 1,…, 0] ………………………… nr = [cn-r1,…, cn-rr, 0, 0,…, 1] thì hệ này có hạng bằng n – r, do đó định thức cấp n – r khác không là: 1 0 00 1 00 0 1= 1 0 Vậy hệ1,…, nr độc lập tuyến tính. Giả sử  = [d1,…, dr, dr1,…, dn]  L thì ta có: d11… drr dr+11r… dnn= 0 Mặt khác ta cũng có: 11 1 1 0 1 0 01, ,r r ii ir ncci n r            cho nên có 11, ,rriij jjci n r   suy ra 10rjjjd1rjjjd= 1nrririid 1 1 1[]r n r rj j r i ij jj i jd d c     1 1 1[]r r n rj j r i ij jj j id d c    