- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
LG a
\[{x^2} - 3x + 1 = 0\]
Phương pháp giải:
Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu:
+] \[A^2+2AB+B^2=[A+B]^2\]
+] \[A^2-2AB+B^2=[A-B]^2\]
Áp dụng: Nếu \[|f[x]|=a; \; [a>0]\] \[\Leftrightarrow f[x]=a\] hoặc \[f[x]=-a.\]
Lời giải chi tiết:
\[{x^2} - 3x + 1 = 0\]
\[\Leftrightarrow \displaystyle {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} - 1\]
\[\Leftrightarrow\displaystyle {\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} = {5 \over 4} \]
\[\Leftrightarrow \displaystyle \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\]
\[\Leftrightarrow \displaystyle x - {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\]hoặc\[x -\displaystyle {3 \over 2} = - {{\sqrt 5 } \over 2}\]
\[\Leftrightarrow \displaystyle x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\]hoặc\[x =\displaystyle {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = \displaystyle {{3 + \sqrt 5 } \over 2};\]\[{x_2} = \displaystyle{{3 - \sqrt 5 } \over 2}\]
LG b
\[{x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\]
Phương pháp giải:
Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu:
+] \[A^2+2AB+B^2=[A+B]^2\]
+] \[A^2-2AB+B^2=[A-B]^2\]
Áp dụng: Nếu \[|f[x]|=a; \; [a>0]\] \[\Leftrightarrow f[x]=a\] hoặc \[f[x]=-a.\]
Lời giải chi tiết:
\[{x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \displaystyle{x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} \]\[= \displaystyle1 + {\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2}\]
\[\Leftrightarrow\displaystyle {\left[ {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} = {3 \over 2} \]
\[\Leftrightarrow \displaystyle\left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\]
\[\Leftrightarrow\displaystyle x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\]hoặc\[x + \displaystyle {{\sqrt 2 } \over 2} = - {{\sqrt 6 } \over 2}\]
\[\Leftrightarrow x =\displaystyle {{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\]hoặc\[x = \displaystyle- {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = \displaystyle {{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2};\]\[{x_2} =\displaystyle - {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\]
LG c
\[5{x^2} - 7x + 1 = 0\]
Phương pháp giải:
Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu:
+] \[A^2+2AB+B^2=[A+B]^2\]
+] \[A^2-2AB+B^2=[A-B]^2\]
Áp dụng: Nếu \[|f[x]|=a; \; [a>0]\] \[\Leftrightarrow f[x]=a\] hoặc \[f[x]=-a.\]
Lời giải chi tiết:
\[ 5{x^2} - 7x + 1 = 0 \]
\[\Leftrightarrow \displaystyle{x^2} - {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \]
\[ \Leftrightarrow\displaystyle {x^2} - 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} - {1 \over 5} \]
\[ \Leftrightarrow\displaystyle {\left[ {x - {7 \over {10}}} \right]^2} = {{29} \over {100}} \]
\[\Leftrightarrow \displaystyle\left| {x - {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \]
\[\Leftrightarrow \displaystyle x - {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\]hoặc\[x - \displaystyle {7 \over {10}} = - {{\sqrt {29} } \over {10}}\]
\[\Leftrightarrow x = \displaystyle {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\]hoặc \[x = \displaystyle {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = \displaystyle {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};\]\[{x_2} =\displaystyle \displaystyle {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\]
LG d
\[3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0\]
Phương pháp giải:
Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu:
+] \[A^2+2AB+B^2=[A+B]^2\]
+] \[A^2-2AB+B^2=[A-B]^2\]
Áp dụng: Nếu \[|f[x]|=a; \; [a>0]\] \[\Leftrightarrow f[x]=a\] hoặc \[f[x]=-a.\]
Lời giải chi tiết:
\[ 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0 \]
\[ \Leftrightarrow \displaystyle{x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x - {2 \over 3} = 0 \]
\[ \Leftrightarrow \displaystyle x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left[ {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2}\]\[ = \displaystyle{2 \over 3} + {\left[ {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} \]
\[ \Leftrightarrow \displaystyle {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = 1 \]
\[\Leftrightarrow \displaystyle \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \]
\[\Leftrightarrow \displaystyle x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\]hoặc\[x + \displaystyle {{\sqrt 3 } \over 3} = - 1\]
\[\Leftrightarrow\displaystyle x = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\]hoặc\[x = - 1 - \displaystyle {{\sqrt 3 } \over 3}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm:\[{x_1} = 1 - \displaystyle{{\sqrt 3 } \over 3};\]\[{x_2} = - 1 - \displaystyle {{\sqrt 3 } \over 3}\]