Ý nghĩa của ánh xạ trong khoa học máy tính

(0 comments)

Điểm bất động(Fixed point)

Thông thường khi một ánh xạ tác động vào một phần tử sẽ sinh ra giá trị hàm khác với đối số. Nếu lặp ánh xạ ấy một cách đệ qui, nghĩa là lấy giá trị hàm làm đối số cho lần lặp tiếp theo thì chúng ta thấy một cách trực quan rằng ánh xạ nhảy theo các giá trị mới. Nếu có một phần tử mà được ánh xạ tới chính nó sẽ làm ánh xạ không di chuyển được. Phần tử đó được gọi là điểm bất động của ánh xạ.

Điểm x* là một điểm bất động của hàm f(x) nếu và chỉ nếu f(x*) = x*

Để thêm hương vị cho khái niệm, chúng ta phân biệt điểm bất động với điểm cố định(stationary point). Điểm cố định là điểm mà tại đó hàm số không biến thiên, f’(x) = 0. Còn điểm bất động cho thấy tại đó dù lặp ánh xạ bao nhiêu lần đi nữa thì hàm số vẫn bất động

f(f(...f(x*)...)) = x*

Nội dung trên cho chúng ta thấy rằng điểm bất động mang nhiều ý nghĩa thực tiễn trong khoa học máy tính bởi hầu hết các chương trình máy tính đều có các vòng lặp, đặc biệt là đệ qui.

Ánh xạ co(Contraction mapping)

Định nghĩa. Cho (X,d) là một không gian metric. Ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ co trên X nếu và chỉ nếu tồn tại q ϵ [0, 1) sao cho Ɐ x, y ϵ X,

d(f(x), f(y)) ≤ qd(x, y).


q được gọi là hằng Lipschitz.

Tổng quát hơn, một ánh xạ co có thể được định nghĩa cho ánh xạ giữa hai không gian metric. Nếu (M, dM) và (N, dN) là hai không gian metric, và f : M → N, thì có một hằng  q ϵ [0, 1) sao cho

dN(f(x), f(y)) ≤ qdM(x, y)


với mọi x, y ϵ M.

Định lý điểm bất động Banach

Cho (X,d) là một không gian metric đầy đủ không rỗng với một ánh xạ co f : X → X. Thì f có một điểm bất động duy nhất x* ϵ X sao cho Ɐ x0 ϵ X,

Trong đó f0(x­0) = x­­0 và fn(x­0) = f(fn-1(x­0))

Chứng minh.

a) Dãy (fn(x­0)) hội tụ tới x*

Theo bất đẳng thức tam giác(tính chất 4) của không gian metric thì Ɐ x, y ϵ X,

d(x, y) ≤ d(x, f(x)) + d(f(x), f(y)) + d(f(y), y)


Do d(f(x), f(y)) ≤ qd(x, y) nên

d(x, y) ≤ d(x, f(x)) + qd(x, y) + d(f(y), y) ⇔

d(x, y) - qd(x, y) ≤ d(x, f(x)) + d(f(y), y)  ⇔

(1 – q)d(x, y) ≤ d(x, f(x)) + d(f(y), y)         ⇔

(1 – q)d(x, y) ≤ d(f(x), x) + d(f(y), y)         ⇔


Thay x bằng fn(x­0) và y bằng fm(x­0) chúng ta có


d(f2(x­0), f1(x­0)) = d(f(f1(x­0)), f(f0(x­0))) = d(f(f(x­0)), f(x­0)) ≤ qd(f(x­0), x­0)


nên bằng cách qui nạp chúng ta có


Áp dụng (3) vào (2) cho cả n và m chúng ta được


Vì q < 1 nên biểu thức cuối của (4) hội tụ về 0 khi n, m → ∞ nên (fn(x­0)) là dãy Cauchy, mặt khác (X,d) là không gian metric đầy đủ do đó (fn(x­0)) hội tụ tới một điểm x* ϵ X, hay

b) x* là điểm bất động

Thay fm(x0) bằng x* trong (4),


Chúng ta có


Từ (5) và (6) suy ra


Vế phải của (7) hội tụ về 0 khi n → ∞ nên (fn+1(x­0)) hội tụ tới f(x*). Dãy (fn+1(x­0)) là (fn(x­0)) bỏ đi phần tử đầu tiên nên cũng hội tụ tới x*. Nhưng vì giới hạn của một dãy là duy nhất nên f(x*) = x* hay x* là điểm bất động.

c) x* là điểm bất độngduy nhất

Giả sử có hai điểm bất động x và y. Chúng ta có f(x) = x và f(y) = y. Suy ra d(f(x), x) = 0 và d(f(y), y) = 0. Áp dụng vào bất đẳng thức (1) thì vế phải của (1) bằng 0, do đó d(x, y) ≤ 0 hay d(x, y) = 0, tức là x = y. Vậy hai điểm bất động này phải là một và điểm bất động x* là duy nhất.

d) Tốc độ hội tụ

Chúng ta viết lại bất đẳng thức (5)


Áp dụng bất đẳng thức (1) với x = fn+1(x­0) và y = x* chúng ta có


Vì d(f(x*), x*) = 0 và d(fn+2(x­0), fn+1(x­0)) ≤ qd(fn+1(x­0), fn(x­0)) nên


Bất đẳng thức (6) tương đương với


Các bất đẳng thức (8), (9), (10) biểu thị tốc độ hội tụ tới điểm bất động của ánh xạ co.

Share on Twitter Share on Facebook Share on Linked In

Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài. ....................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. ............................................................. 1 3. Phương pháp nghiên cứu. ........................................................................... 1 4. Cấu trúc. ..................................................................................................... 2 CHƯƠNG 1 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH.............................................. 3 1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm. .................................................. 3 1.1.1. Không gian metric. ............................................................................... 3 1.1.2. Không gian định chuẩn. ........................................................................ 6 1.1.3. Không gian Hilbert. ............................................................................ 11 1.2. Nguyên lý ánh xạ co. ............................................................................. 12 1.2.1. Ánh xạ Lipschitz. ............................................................................... 12 1.2.2. Ánh xạ co. .......................................................................................... 12 1.2.3. Nguyên lý ánh xạ co của Banach. ....................................................... 13 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO....................... 18 2.1. Giải phương trình đại số và siêu việt. .................................................... 18 2.1.1. Bài toán. ............................................................................................. 18 2.1.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 19 1.3. Ví dụ. .................................................................................................... 23 2.2. Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. .................................. 24 2.2.1. Bài toán. ............................................................................................. 24 2.2.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 26 2.2.3. Ví dụ................................................................................................... 29 2.3. Giải gần đúng phương trình vi phân thường. ......................................... 30 Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp 2.3.1. Bài toán. ............................................................................................. 30 2.3.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 33 2.3.3. Ví dụ................................................................................................... 35 2.4. Giải gần đúng phương trình tích phân loại II. ........................................ 37 2.4.1. Bài toán. ............................................................................................. 37 2.4.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 38 2.4.3. Ví dụ................................................................................................... 42 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG ....................................................................... 44 KẾT LUẬN ................................................................................................. 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 57 Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Ra đời vào cuối thế kỉ XVII, giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chương trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật. Đây là môn học khó với hầu hết sinh viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải những tình huống, những giả thiết phức tạp. Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về toán học liên quan. Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện rất sớm trong Toán học giải tích. Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm – một môn học cơ bản vừa mang tính bài tập vừa mang tính ứng dụng rộng rãi. Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lý ánh xạ co của Banach. Nguyên lý ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong toán học. Nó dùng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của: hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,… Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “ Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú thêm kiến thức của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. Sự phát triển của giải tích toán học nói riêng và của toán học nói chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tình thực tiễn nhất định. Nghiên cứu những ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co vào giải quyết một số bài toán của giải tích là mục đích chính của khóa luận này. 3. Phương pháp nghiên cứu. + Phương pháp nghiên cứu lý luận. Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 1 Khóa luận tốt nghiệp + Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu. 4. Cấu trúc. Khóa luận bao gồm 3 chương. Chương 1: Nguyên lý ánh xạ co của Banach. Chương 2: Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co. Chương 3: Một số ví dụ áp dụng. Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 2 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 1 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH 1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm. 1.1.1. Không gian metric. + Không gian metric. Định nghĩa 1.1: Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực thỏa mãn các tiên đề dau đây: (i)  x, y  X  d  x, y   0, d  x, y   0  x  y ; (ii)  x, y  X  d  x, y   d  y, x  ; (iii)  x, y, z  X  d  x, z   d  x, y   d  y, z  ; Ánh xạ d được gọi là metric trên X ; Số d  x, y  gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y ; Các phần tử của X gọi là các điểm; Các tiên đề (i), (ii), (iii) gọi là hệ tiên đề metric. Không gian metric kí hiệu là: M   X , d  . Ví dụ 1.1: Với 2 vector bất kì x   x1 , x2 ,..., xk  , y   y1 , y2 ,..., yk  thuộc không gian k k  * ta đặt: d  x, y   k  x j 1 j  yj  (1.1) Khi đó hệ thức (1.1) xác định một metric trên không gian k . Ví dụ 1.2: Với hai phần tử bất kì x, y  , ta đặt: d  x, y   x  y Khi đó hệ thức (1.2) gọi là metric tự nhiên trên (1.2) . + Sự hội tụ trong không gian metric. Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 3 Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.2: Cho không gian metric M   X , d  , dãy điểm  x   X , điểm n x0  X . Dãy điểm  xn  gọi là hội tụ đến điểm x0 trong không gian M khi n   , nếu:    0  n 0  * n  n0  , d ( xn , x0 )   . x  x0 hay xn  x0  n    . Kí hiệu: lim n  n Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy  xn  trong không gian metric M . Ví dụ 1.3: Sự hội tụ của một dãy điểm  xn  trong không gian 1 là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học. + Ánh xạ liên tục. Cho hai không gian metric M 1   X , d1  , M 2  Y , d 2  . Ánh xạ f từ không gian M 1 lên không gian M 2 . Định nghĩa 1.3: Ánh xạ f gọi là liên tục tại x0  X , nếu  >0,  >0 sao cho x  X : d1  x, x0  <  thì d 2  f  x  , f  x0   <  . Định nghĩa 1.4: Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A  X , nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm thuộc tập A , khi A  X thì ánh xạ f gọi là liên tục. Định nghĩa 1.5: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập A  X , nếu:   0,   0 sao cho x, x '  A : d1  x, x '    thì d 2  f  x  , f  x '    . + Không gian metric đầy đủ. Định nghĩa 1.6: Cho không gian metric M   X , d  . Dãy điểm x   X n gọi là dãy cơ bản trong M nếu:    0  n 0  * m, n  n0  , d  xn , xm    . Hay lim d  xn , xm   0 . n , m  Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong M đều là dãy cơ bản. Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 4 Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.7: Không gian metric M   X , d  gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ. 1 Ví dụ 1.4: Không gian metric là không gian đầy. Điều đó được suy ra từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học. k Ví dụ 1.5: Không gian là không gian đầy. Thật vậy, Giả sử x  n    x1 n  , x2  n  ,..., xk  n    n  1,2,... là dãy cơ bản tùy ý trong k không gian Euclid . Theo định nghĩa 1.6:    0  n 0  * m, n  n0  , d  x  n  , x  m     k  x    x  Hay n j j j 1 m  2  x j  n   x j  m   , m, n  n0 ; j  1, 2,..., k (1.3) Các bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ với mỗi j  1,2,..., k dãy  x j  n   là dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn lim x j  n  x j , ( j  1,2,..., k ). n  Đặt x   x1 , x2 ,..., xn  ta nhận được dãy  x  n    k đã cho hội tụ theo tọa độ tới x . Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid k tương đương với sự hội tụ theo tọa độ, nếu dãy cơ bản  x  n   đã cho hội tụ tới x trong không gian k Ví dụ 1.6: Không gian . Vậy không gian Euclid  a ,b  k là không gian đầy. là không gian đầy. Thật vậy, Giả sử  xn  t   là dãy cơ bản tùy ý trong không gian  a ,b  . Theo định nghĩa 1.6:    0  n 0  * m, n  n0  d  x n  , x m   max xn  t   xm  t    a t b Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 5 Khóa luận tốt nghiệp  xn  t   xm  t    , m, n  n0 ; t   a, b  (1.4) Các bất đẳng thức (1.4) chứng tỏ với mỗi t cố định tùy ý thuộc đoạn  a, b  dãy  xn  t   là dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn: lim x  t   x  t  , t   a, b  n  n Ta nhận được hàm số x  t  xác định trên  a, b  . Vì các bất đẳng thức (1.4) không phụ thuộc t , nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi n   ta được: xn  t   x  t    , n  n0 , t   a, b Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ dãy  xn  t    hàm số x  t  trên đoạn  a, b  , nên x  t   không gian  a ,b   a ,b  (1.5)  a ,b  hội tụ đều tới . Nhưng sự hội tụ trong tương tự với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn  a, b  nên dãy cơ bản  xn  t   đã cho hội tụ tới x  t  trong không gian  a ,b  . Vậy  a ,b  là không gian đầy. 1.1.2. Không gian định chuẩn. + Không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.8: Ta gọi là không gian định chuẩn ( không gian tuyến tính định chuẩn ) là không gian tuyến tính X trên trường K ( K là trường số thực hoặc trường số phức số thực kí hiệu là ) cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập và đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1)  x  X  , x  0, x  0  x   ( kí hiệu phần tử không là  ); 2)  x  X    K  ,  x   x ; 3)  x, y  X  , x  y  x  y ; Số x gọi là chuẩn của vector x . Kí hiệu không gian định chuẩn là X . Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 6 Khóa luận tốt nghiệp Các tiên đề 1), 2), 3) là hệ tiên đề chuẩn. Định lý 1.1: Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vector bất kì x, y  X ta đặt: d  x, y   x  y (1.6) Khi đó d là một metric trên X . Chứng minh. Ta chứng minh d thỏa mãn hệ tiên đề metric.  Tiên đề (i) d  x, y   x  y  0,  x, y  X  ( Do tiên đề 1) d  x, y   0  x  y  0  x  y  Tiên đề (ii) d  x, y   x  y  1 y  x   1 y  x  y  x  d  y, x   x, y  X  ;  Tiên đề (iii)  x, y, z  X  d  x, z   x  z   x  y   y  z  x y  yz  d  x, y   d  y , z  . Vậy định lý được chứng minh. Nhờ định lý 1.1 mà mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.6). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. + Sự hội tụ trong không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.9: Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X gọi là x  x hay hội tụ tới điểm x  X nếu lim xn  x  0 kí hiệu lim n  n n  xn  x  n    . Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 7 Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.10: Dãy điểm  xn  trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu: lim xn  xm  0 ; m , n  + Không gian Banach. Định nghĩa 1.11: Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Ví dụ 1.6: Đối với mỗi số thực bất kì x  ta đặt: (1.7) x  x Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.7) cho chuẩn trên . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là 1 là không gian Banach. Ví dụ 1.7: Cho không gian vector k chiều  k , trong đó:  k  {x  ( x1 , x2 ,..., xk ) : xk  hay x j  } Đối với bất kì x   k ta đặt: k x  x 2 j (1.8) j 1 Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.8) cho một chuẩn trên  k . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là  k . Dễ dàng thấy  k là không gian Banach. Ví dụ 1.8: Cho không gian vector l2 . Đối với vector bất kì x   xn   l2 ta đặt:  x  x n 2 (1.9) n 1 Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.9) cho chuẩn trên l2 . Không gian chuẩn tương ứng kí hiệu là l2 . Dễ dàng thấy l2 là không gian Banach. Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 8 Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 1.9: Cho không gian vector Ca ,b . Đối với hàm số bất kì x  t   C a ,b ta đặt: x  max x  t  a t b (1.10) Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.10) cho chuẩn trên Ca ,b . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là Ca ,b . Dễ thấy Ca ,b là không gian Banach. Ví dụ 1.10: Cho không gian vector L a ,b . Đối với hàm số bất kì x  t   L a ,b ta đặt: b x   x  t  dt (1.11) a Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.11) cho một chuẩn trên La ,b . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là L a ,b . Dễ thấy L a ,b là không gian Banach. + Toán tử tuyến tính. Định nghĩa 1.12: Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K  hoặc K  ). Ánh xạ A đi từ không gian X vào không gian Y là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện sau: 1.  x, y  X  A  x  y   Ax  Ay ; 2.  x  X    K  A x   Ax ; Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1 thì A gọi là toán tử cộng tính, còn nếu chỉ thỏa mãn điều kiện 2 thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y  K thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính. Ví dụ 1.11: Cho A : n  m xác định, A  x1 , x2 ,..., xn    y1 , y2 ,..., ym  Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 9 Khóa luận tốt nghiệp n yi   aij x j ; i  1, m (1.12) j 1 Trong đó a ij là những hằng số. Ma trận  aij  mn gọi là ma trận của toán tử A . Dễ thấy công thức (1.12) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính từ n  m . Ví dụ 1.12: X  Y  D k  a ,b ( Không gian các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k trên  a, b  ). Khi đó: Ax  t   a0 x  t   a1 x '  t   ...  ak x k   t  Trong đó a0 , a1 ,..., ak là những hằng số ( hoặc những hàm số cho trước của t thuộc D k a ,b ) là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử vi phân. b Ví dụ 1.13: X  Y  Ca ,b . Ax  t    K  t , s  x  s  ds . a Trong đó K  t , s  là hàm số liên tục theo hai biến t , s trong hình vuông a  t , s  b là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử tích phân. Định nghĩa 1.13: Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số c  0 sao cho: Ax  c x ; x  X Định nghĩa 1.14: Cho không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu L  X , Y  là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L  X , Y  hai phép toán:  Tổng của hai toán tử A, B  L  X , Y  là toán tử, kí hiệu A  B , xác định bởi biểu thức:  A  B  x   Ax  Bx, x  X  Tích vô hướng của   K với toán tử A  L  X , Y  là toán tử, kí Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp hiệu là  A , xác định bởi biểu thức:  A x     Ax  Dễ dàng kiểm tra được rằng A  B  L  X , Y  , A  L  X , Y  và hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Tập L  X , Y  trở thành một không gian tuyến tính trên trường K . Định lý 1.2: Nếu Y là một không gian Banach thì L  X , Y  là không gian Banach. 1.1.3. Không gian Hilbert. Định nghĩa 1.15: Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K  hoặc K  ) ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descarter X  X vào trường K , kí hiệu .,. , thỏa mãn: 1)  x, y  X  y , x  x, y ; 2)  x, y, z  X  x  y, z  x, z  y, z ; 3)  x, y  X    K   x, y   x, y ; 4)  x  X  x, x  0 nếu x   ( kí hiệu phần tử không là  ); x, x  0 nếu x   . Các phần tử x, y, z,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số x, y gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y ; các tiên đề 1), 2), 3), 4) là hệ tiên đề tích vô hướng. + Bất đẳng thức Schwarz. Định lý 1.3: Đối với mỗi x  X , đặt x  x, x . Khi đó với mọi x, y  X ta có bất đẳng thức Schwarz: x, y  x y . Định nghĩa 1.16: Ta gọi một tập hợp H   gồm những phần tử Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp x, y, z,... nào đấy là không gian Hilbert, nếu H thỏa mãn: 1) H là không gian tuyến tính trên trường K ; 2) H được trang bị một tích vô hướng .,. ; 3) H là không gian Banach với chuẩn x  x, x , x  H . Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H . Ví dụ 1.14: Trường K với tích vô hướng x, y  xy là không gian Hilbert. n Ví dụ 1.15: Không gian K n với tích vô hướng x, y   xi yi là không i 1 gian Hilbert. Ví dụ 1.16: Không gian  2 trong đó    2   2  x   xn  n 1 , xn  K :  xn   . n 1  Với tích vô hướng x, y   xn yn là không gian Hilbert. n 1 1.2. Nguyên lý ánh xạ co. 1.2.1. Ánh xạ Lipschitz. Định nghĩa 1.17: Cho  X , d1  và Y , d 2  là các không gian metric trên trường K . Ánh xạ f :  X , d1   Y , d 2  được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu có một số L  0 sao cho: d 2  fx, fy   Ld1  x, y  , x, y  X . Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số Lipschitz. Ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục. 1.2.2. Ánh xạ co. Định nghĩa 1.18: Ánh xạ f từ không gian metric  X , d X  vào không Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 12 Khóa luận tốt nghiệp gian metric Y , dY  đươc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số    0,1 sao cho: dY  f  x  , f  y     d X  x, y  , x, y  X . Như vậy ánh xạ co là một trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên nó liên tục. 1.2.3. Nguyên lý ánh xạ co của Banach. Định lý 1.4: Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và f : X  X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x  X sao cho f  x   x . Chứng minh. Lấy x0 là một điểm tùy ý thuộc X và đặt xn 1  f  xn  với n  0,1,2,...  x  n là một dãy trong X . Vì f là ánh xạ co của X vào chính nó nên tồn tại hằng số    0,1 thỏa mãn: d  f  x1  , f  x0     d  x1 , x0  Do đó ta có: d  x2 , x1   d  f  x1  , f  x0     d  x1 , x0    d  f  x0  , x0  . Tương tự ta có: d  x3 , x2   d  f  x2  , f  x3     d  x2 , x1    d  f  x1  , f  x0   Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 13 Khóa luận tốt nghiệp   2 d  f  x0  , x0  . Lập luận tương tự, cuối cùng ta có: d  xn 1 , xn   d  f  xn  , f  xn1     d  xn , xn 1    d  f  xn 1  , f  xn 2   ………….   n d  f  x0  , x0  Khi đó với mọi số nguyên dương p ta đều có: d  xn  p , xn   d  xn  p , xn  p 1   d  xn p 1 , xn  p  2   ...  d  xn 1 , xn    n  p 1   n  p 2  ...   n  d  f  x0  , x0  1 p  d  f  x0  , x0  1 n  n d  f  x0  , x0  1 Vì    0,1 nên  n  0  n    Suy ra: lim d  xn  p , xn   0, p  1,2,... n  Điều đó chứng tỏ rằng  xn  là một dãy cơ bản trong không gian metric đầy đủ X , vậy tồn tại giới hạn hữu hạn: lim xn  x n  Khi đó : d  f  xn  , xn    n d  f  x0  , x0  . Cho n   và sử dụng tính liên tục của f ta được: d  f  x  , x   0 tức là f  x   x . Vậy x là điểm bất động của f . + x là duy nhất. Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 14 Khóa luận tốt nghiệp Giả sử có x   X sao cho f  x   x . Ta có: d  x , x   d  f  x   , f  x     d  x  , x   1    d  x , x   0 ,    0,1 ;  d  x , x   0  x  x . Vậy x là điểm bất động duy nhất của f . Định lý được chứng minh. Ví dụ 1.17: Cho   a  b   , hàm số x  t  khả vi trên đoạn  a, b  thỏa mãn các điều kiện: x  t    a, b  ,0  x '  t   k  1, t   0,1 , k cố định. Khi đó phương trình x  t   t có duy nhất 1 nghiệm t0   a, b  . Thật vậy, ta có  a, b  là một tập con đóng của 1 với metric d  u , v   u  v ; u , v   a, b  . Do đó  a, b  cùng với metric của 1 lập thành một không gian metric đầy đủ. Theo định lý giá trị trung bình, với mỗi u, v   a, b  , có một điểm w   a, b sao cho : x  u   x  v   x '  w  u  v   k u  v . Do đó theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại duy nhất t0   a, b  sao cho x  t0   t0 . Ví dụ 1.18: Cho ánh xạ  : 9,10  9,10 , x    x  , với   x  cho bởi   x   1000  x 3 . Khi đó ánh xạ  không có điểm bất động. Thật vậy, ta có: d   x  ,   y      x     y    '  c  x  y    '  c  x  y Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 15 Khóa luận tốt nghiệp   x  y   d  x, y  . Mặt khác,   max  '  x   300 x9,10 1 . Do đó  không là ánh xạ co. Vậy ánh xạ  không có điểm bất động.  Với metric xác định trong định lý 1.1 ta có cách phát biểu khác của nguyên lý ánh xạ co cua Banach trong không gian định chuẩn như sau: Giả sử rằng: (a) M là một tập đóng, khác rỗng trong không gian Banach X trên trường K và (b) Toán tử A : M  M thỏa mãn Au  Av  k u  v , u , v  M và k cố định, k   0,1 Khi đó các kết quả sau là đúng: (i) Tồn tại và duy nhất nghiệm u của phương trình u  Au (ii) Với mỗi u0  M đã cho, dãy  un  tạo bởi un 1  Aun , n  0,1,2... (2.1) Hội tụ đến nghiệm duy nhất u của phương trình (2.1) Ta chứng minh (ii): Trước hết ta chỉ ra rằng  un  là một dãy Cauchy. Thật vậy, với mỗi n  0,1, 2,... sử dụng (b) ta có: un 1  un  Aun  Aun 1  k un  un 1  k Aun 1  Aun  2  k 2 un1  un 2  ...  k n u1  u0 . Bây giờ, với n  0,1,... và m  1,2,... từ bất dẳng thức tam giác ta có: un  un  m   un  un 1    un 1  un  2   ...   un  m1  un  m   un  un 1  un 1  un  2  ...  un  m1  un  m Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 16 Khóa luận tốt nghiệp   k n  k n 1  ...  k n  m1  u1  u0 1  k n 1  k  u1  u0 Vì k   0,1 nên k n  0 khi n   . Vậy dãy  xn  là một dãy Cauchy, do X là không gian Banach nên dãy  xn  hội tụ tới một phần tử u  X hay un  u khi n   Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn u là nghiệm của phương trình (2.1) . Từ uo  M và u1  Au0 cùng với A  M   M suy ra u1  M . Tương tự bằng quy nạp ta được un 1  Aun và un  M , n  0,1,... Vì M đóng, ta có u  M , suy ra Au  M . Theo (b) ta có: Aun  Au  k un  u   khi n   Cho n   từ un 1  Aun ta có u  Au . Điều phải chứng minh. Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 17 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO 2.1. Giải phương trình đại số và siêu việt. 2.1.1. Bài toán. Xét phương trình: f  x  0 (1.1) Trong đó f  x  là hàm đại số hay siêu việt. Nghiệm của phương trình (1.1) là số thực  thỏa mãn (1.1) . Tức là khi thay  vào x ở vế trái ta được: f    0 (1.2) Phương trình (1.1) trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng. Thông thường quá trình giải phương trình (1.1) bao gồm hai bước:  Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng dủ bé chứa nghiệm của f  x  .  Bước giải kiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết. + Sự tồn tại nghiệm. Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1.1) ta phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không. Để trả lời câu hỏi đó, ta có định lý sau: Định lý 2.1: Nếu có hai số thực a và b  a  b  sao cho f  a  và f  b  trái dấu, tức là: f  a  f b  0 Đồng thời f  x  liên tục trên  a, b  thì ở trong đoạn  a, b  có ít nhất một nghiệm của phương trình (1.1). + Khoảng tách nghiệm. Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 18

Tải thêm tài liệu liên quan đến bài viết Ý nghĩa của ánh xạ trong khoa học máy tính