Tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu nào

Câu hỏi: Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Trả lời

- Dấu hiệu nhận biết hình vuông là:

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

+ Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

Bạn đọc hãy cùng với Top lời giải tìm hiểu thêm về hình vuông qua bài viết dưới đây nhé!

1. Hình Vuông là gì?

Trong hình học Euclid, hình vuông là hình tứ giác đều, tức có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau [4 góc vuông]. Có thể coi hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau, hoặc là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.

2. Tính chất của hình vuông

- Có 2 cặp cạnh song song.

- Có 4 cạnh bằng nhau.

- Hai đường chéo hình vuông bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Giao điểm hai đường chéo của hình vuông là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

- Giao của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tại một điểm.

- Một đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.

- Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, đồng thời tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.

- Hình vuông có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

- Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

4. Công thức tính chu vi và diện tích hình vuông

a. Công thức tính chu vi hình vuông

- Chu vi hình vuông ta được tính theo công thức lấy cạnh nhân 4 hay nói cách khác chu vi hình vuông bằng tổng độ dài bốn cạnh cộng lại với nhau.

- Ta có công thức tính chu vi hình vuông như sau:

P = a x 4

- Trong đó:

+ P là chu vi hình vuông

+ a là độ dài một cạnh của hình vuông

b. Công thức tính diện tích hình vuông

- Diện tích hình vuông được hiểu là phần diện tích mặt phẳng của hình vuông mà ta có thể nhìn thấy được.

- Ta có công thức: Muốn tính diện tích hình vuông ta lấy cạnh nhân cạnh.

- Hay ta có công thức tính diện tích hình vuông như sau:

S = a x a

- Trong đó:

+ S: diện tích của hình vuông

+ a: Cạnh hình vuông

5. Các cách chứng minh hình vuông

Để chứng minh một tứ giác là hình vuông, các em có thể áp dụng một trong 3 cách sau đây:

Cách 1: chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông ta thực hiện như sau:

+ Chứng minh tứ giác đó là hình thoi.

+ Chứng minh tứ giác đó có 1 góc vuông.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

Ta có: AB = BC = CD = DA [gt]

AE = BK = CP = DQ [gt]

=> EB = KC = PD = QA

Xét ΔAEQ và ΔBKE, ta có:

AE = BK [gt]

A = B = 90°

QA = EB [chứng minh trên]

=> ΔAEQ = ΔBKE [c.g.c]

=> EQ = EK

Chứng minh tương tự, ta có: EK = KP, KP = PQ

Suy ra: EK = KP = PQ = EQ => Tứ giác EKPQ là Hình thoi. [1]

Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE

⇒ Góc AQE = BKE

Mà Góc AQE + AEQ = 90°

=> Góc BKE + AEQ = 90°

Lại có, Góc BKE + QEK + AEQ = 180°

Suy ra: Góc QEK = 180° – Góc BKE – Góc AEQ = 180° – 90° = 90° [2]

Từ [1] và [2] suy ra tứ giác EKPQ là Hình vuông [ Hình thoi có 1 góc vuông là Hình vuông].

Cách 2: chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau ta thực hiện như sau:

+ Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật.

+ Chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh kề bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Theo bài ra, ta có:

ΔABC vuông cân tại A => Góc B = C = 45°

ΔBHE vuông tại H và có Góc B = 45° => ΔBHE vuông cân tại H

=> HB = HE

ΔCGF vuông tại G và có Góc C= 45° => ΔCGF vuông cân tại G

=> GC = GF

Mà BH = HG = GC [giả thiết]

=> HE = HG = GF

Lại có EH // GF [cùng vuông góc với BC] và EH = GF

=> Tứ giác HEFG là Hình bình hành [ Tứ giác có một cặp cạnh đối song song bằng nhau là Hình bình hành ].

Ngoài ra, Góc EHG = 90° nên HEFG là Hình chữ nhật, lại có EH = HG [chứng minh trên].

Vậy HEFG là Hình vuông [ Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là Hình vuông ].

Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có đường chéo là phân giác

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có đường chéo là phân giác ta thực hiện như sau:

+ Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật.

+ Chứng minh tứ giác đó có đường chéo là đường phân giác của một góc.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

Xét tứ giác AMDN, ta có:

Góc MAN = 90° [giả thiết]

DM⊥ AB [giả thiết] => Góc AMD = 90°

DN⊥ AC [giả thiết] => Góc AND = 90°

Suy ra Tứ giác AMDN là Hình chữ nhật [tứ giác có ba góc vuông]

Lại có đường chéo AD là đường phân giác của A

Vậy Hình chữ nhật AMDN là Hình vuông

Với Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng một trong hai cách sau:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? 

Giải

Tứ giác AEDF là hình vuông.

Theo hình vẽ thì

 . Tứ giác AEDF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình vuông.

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a] Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b] Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Giải

Đặt AD = a thì AB = 2a

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:

AE = EB = CF = FD = a.

a] Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a

⇒ AE = EF = DF = AD = a

Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Hình thoi ADFE có

 nên nó là hình vuông.

b] Tứ giác MENF là hình vuông

Chứng minh tương tự câu a] ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được:

Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc

 nên nó là hình vuông.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA [tính chất].

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

 

 và MB = NC = PD = QA = a – x, nên bốn tam giác vuông MBN, NCP, PDQ, QAM bằng nhau theo trường hợp [c – g – c] suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là MN = NP = PQ = QM.

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:

Lại có góc BNC là góc bẹt hay

Từ [1] và [2] suy ra  

Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Phần C. bài tập vận dụng cho phần Lời giải vào code Hiển thị đáp án

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.

Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi. Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông.

Đáp án: A.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA [tính chất].

Mà AE = BF = CG = DH [gt] nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH 

hay DG = CF = EB =AH.

nên HG = GF = HE = EF.

Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Hình thoi EFGH có

 nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Vì ABCD là hình thoi nên

 [tính chất].

Mà OE, OF, OG, OH lần lượt là phân giác

 nên ta có  

Suy ra   

nên H, O, F thẳng hàng.

Tương tự ta có: E, O, G thẳng hàng.

Xét

ta có OD = OB;

[đối đỉnh];

[so le trong] nên

 [g – c – g] suy ra OE = OG [1]

Tương tự ta có:

 [g – c – g] ⇒ OF = OH         [2]

Từ [1] và [2] suy ra: tứ giác EFGH là hình bình hành vì có hai đường chéo EG; HF giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Lại xét

 có:

Suy ra: hình bình hành EFGH có hai đường chéo bằng nhau EG = HF nên EFGH là hình chữ nhật.

Lại có:

Hình chữ nhật EFGH có:

 nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Ta có: ΔABC vuông cân tại A nên  

Xét tam giác vuông FGC có:

 

Suy ra ∆FGC là tam giác vuông cân tại  

Chứng minh tương tự: 

Xét tam giác vuông EHB có 

 

Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H

 

Mà BH = HG = GC[gt] nên FG = EH = HG

Lại có: 

Xét tứ giác EFGH có:

 

 ⇒Tứ giác EFGH là hình bình hành. 

Mà

 nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Mặt khác EH = HG [cmt] nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Xét hai tam giác ABE và ADF có:

AB = AD [do ABCD là hình vuông]

Mặt khác lại do EP//AF; FP//AE  ⇒AEPF là hình bình hành [3]

Từ [1], [2], [3] ⇒ AEPF là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ

 tại E, tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA. Khi đó MNPQ là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Hiển thị đáp án

Từ giả thiết M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA ta suy ra:

MN là đường trung bình của ΔADF và  

PQ là đường trung bình của ΔACF và 

Từ [1] và [2] suy ra MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác D là giao điểm của hai đường cao AB và FE trong tam giác AFC suy ra CD là đường cao còn lại

 

 [do NP là đường trung bình của tam giác FDC nên NP//DC]

Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

ΔFEC  vuông tại E và có

[Tam giác ABC vuông cân tại A] nên ΔFEC vuông cân tại E

 vuông cân tại B suy ra BD = BF

Xét hai tam giác ABF và CBD có:

BF = BD [cmt]

 

Do đó MNPQ là hình vuông.

Đáp án: D.