Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 2: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Lời giải:

Ta có: 6! = 720 cách bày bánh kẹo.

a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau ?

b) Các bạn nam ngồi liền nhau ?

Lời giải:

Để xác định, các ghế được đánh số từ 1 đến 10 tính từ trái sang phải.

a) Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ thì các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại. Có 5! cách xếp bạn nam, 5! cách xếp bạn nữ. Tất cả có (5!)2 cách xếp.

Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn, các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại thì có (5!)2 cách xếp nam và nữ.

Vậy có tất cả 2.(5!)2 cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ nhau.

b) Các bạn nam được bố trí ngồi ở các ghế từ k đến k + 4, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong mỗi trường hợp có (5!)2 cách xếp nam và nữ.

Vậy có 6.(5!)2 cách xếp mà các bạn nam ngồi cạnh nhau.

a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ?

b) Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau ?

Lời giải:

a) Có 2. 9 = 18 cách xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau.

8 bạn kia được xếp vào 8 chỗ còn lại. Vậy có 8! cách xếp 8 bạn còn lại và do đó có 18! 8 cách xếp sao cho An, Bình ngồi cạnh nhau.

b) Có 10! cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn.

Từ đó có 10! – 18. 8! = 72. 8! cách xếp chỗ cho 10 bạn mà An và Bình không ngồi cạnh nhau.

Lời giải:

Để xác định, ba bạn được đánh số 1, 2, 3.

Kí hiệu Ai là tập hợp các cách cho mượn mà bạn thứ i được thầy giáo cho mượn lại cuốn đã đọc lần trước (i = 1, 2, 3)

Kí hiệu X là tập hợp các cách cho mượn lại.

Theo bài ra cần tính

n[X\(A1 ∪ A2 ∪ A3)]

Tacó: n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = n(A1) + n(A2) + n(A3) − n(A1 ∪ A2) − n(A1 ∪ A3) − n (A2 ∪ A3) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 2! + 2! + 2! − 1 − 1 − 1 + 1 = 4n(X) = 3! = 6

Từ đó n[X\(A1 ∪ A2 ∪ A3)] = 6 – 4 = 2

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà ?

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông ?

Lời giải:

a) Xếp hai người đàn bà ngồi cạnh nhau.Có 2 cách.

Sau đó xếp đứa trẻ ngồi vào giữa. Có 1 cách.

Xếp 4 người đàn ông vào 4 ghế còn lại. Có 4! cách.

Theo quy tắc nhân, có 2. 4! = 48 cách.

b) Đầu tiên chọn 2 người đàn ông. Có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Xếp hai người đó ngồi cạnh nhau. Có 2 cách.

Sau đó xếp đứa trẻ vào giữa. Có 1 cách.

Xếp 4 người còn lại vào 4 ghế còn lại. Có 4! cách.

Vậy theo quy tắc nhân, có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

a) Các quả cầu giống hệt nhau (không phân biệt) ?

b) Các quả cầu đôi một khác nhau ?

Lời giải:

a) Trong trường hợp này, số cách đặt bằng số các nghiệm (x1,x2,x3) nguyên, không âm của phương trình x1 + x2 + x3 = 3. Từ đó, đáp số cần tìm là

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

b) Quả thứ nhất có 3 cách đặt;

Quả thứ hai có 3 cách đặt;

Quả thứ ba có 3 cách đặt.

Vậy số cách đặt là 33 = 27.

a) Hai nhóm, một nhóm 7 người, nhóm kia 3 người ?

b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người ?

Lời giải:

a) Chọn 7 người từ 10 người để lập một nhóm, ba người còn lại vào nhóm khác. Vậy số cách chia là

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người, sẽ có số cách chia là

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

a) Hai quyển sách ?

b) Tám quyển sách ?

Lời giải:

a) Có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách chọn hai quyển từ tầng thứ k, k = 1, 2, 3, 4

Vậy có tất cả

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách chọn.

b) Tương tự, có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách chọn.

Lời giải:

Đầu tiên coi các quả là khác nhau. Do vậy có 9! cách chia.

Nhưng các quả cùng loại (táo, cam, chuối) là giống nhau nên nếu các cháu có cùng loại quả đổi cho nhau thì vẫn chỉ là một cách chia. Vì vậy, số cách chia là:

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

Có thể giải theo các cách như sau:

Chọn 4 trong 9 cháu để phát táo. Có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Chọn 3 trong 5 cháu còn lại để phát cam. Có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Chuối sẽ phát cho 2 cháu còn lại.

Vậy có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Lời giải:

Theo bài ra ta cần tìm:

n[X \ (A ∪ B)] = n(X) − n(A ∪ B) = n(X) − n(A) − n(B) = n(X) − n(A) − n(B)

Ta có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

a) Vẽ được bao nhiêu tam giác ?

b) Vẽ được bao nhiêu đa giác ?

Lời giải:

a) Cứ ba điểm vẽ được 1 tam giác.Vì vậy có thể vẽ được

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
tam giác.

b) Số đa giác vẽ được là tổng cộng của số tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, thập giác.

Do đó vẽ được số đa giác là:

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

a) Ghế sắp thành hàng ngang ?

b) Ghế sắp quanh một bàn tròn ?

Lời giải:

a) Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau. Có 6! cách.

Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ.

Bây giờ chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế. Có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Xếp nữ vào 4 ghế đó. Có 4! cách.

Vậy có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

b) Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách.

Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó. Có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Theo quy tắc nhân, có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

b) Chứng minh công thức Niu-tơn

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

c) Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

Lời giải:

a) Cách thứ nhất: Chọn 9 bạn nam trong 50 bạn để làm trực nhật. Có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Khi đã chọnđược 9 bạn rồi, chọn 4 trong 9 bạn đó để quét sân. Có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách.

Từ đó, theo quy tắc nhân, có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách phân công.

Cách thứ hai: Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây. Vậy có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.

b) Lập luận tương tự.

c) Ta có: 4! = 1.2.3.4 = 24

Các số hạng 6!; 8!;…100! đều có tận cùnglà chữ số 0. Do đó chữ số ở hàng đơn vị của S là 1 + 2 + 4 = 7

Lời giải:

Mỗi giao điểmcủa hai đường chéoứng với một và chỉ một tập hợp gồm 4 điểmtừ tập hợp 7 đỉnh của đa giác. Vậy có

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
giao điểm.

Lời giải:

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
cách chọn 5 chữ số khác nhau để lập số cần thiết. Nhưng khi đã có 5 chữ số khác nhau rồi, chỉ có một cách xếp 5 chữ số đó để tạo nên số cần thiết. Vậy có
Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên
số.

A. 6!          B. 7!

C. 67          D. 76

Lời giải:

Mỗi người khách có 6 cách chọn toa nên số cách lên tàu tùy ý (theo quy tắc nhân) là 6.6.6.6.6.6.6 = 67.

Chọn đáp án: C

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

Lời giải:

Có C72 cách chọn 2 khách lên toa đầu, 5 khách còn lại mỗi người lên một trong 5 toa còn lại nên có 5! cách. Do đó đáp án đúng là C72.5! cách.

Chọn đáp án: A

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

Lời giải:

Số cách bầu một ban cán sự 4 người bất kì là C304, số cách bầu một ban cán sự toàn nữ là C104. Do đó số cách bầu một ban cán sự 4 người có ít nhất 1 nam là C304 – C104.

Chọn đáp án: C

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

Lời giải:

Chọn ra 4 người có Thu và Xuân trong 20 người có C182 cách.

Chọn ra 4 người có Thu và Thắm trong 20 người có C182 cách.

Số cách chọn 4 người có cả Thu – Xuân – Thắm trong 20 người là C171 cách.

Vậy số cách chọn ra 4 người có Thu và Xuân hoặc Thu và Thắm là

C182 + C182 – C171 = 2.C182 – C171.

Chọn đáp án: B

Tự 5 học sinh không có bạn nào trùng tên

Lời giải:

Số tam giác có 1 đỉnh thuộc (d) và 2 đỉnh thuộc (d’) là 10.C122, số tam giác có 1 đỉnh thuộc (d’) và 2 đỉnh thuộc (d) là 12.C102.

Do đó số tam giác tạo được bởi các điểm trên hai đường thẳng đó là

10.C122 + 12.C102 = 1200 tam giác.

Chọn đáp án: D