Cấp số nhân là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn]. Trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân
Công bội q
Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có công thức công bội
Ví dụ cho cấp số nhân [un] có u1 = 2 , u2 = 4. Tính công bội q
Áp dụng công thức công bội q ta có
Nếu [un] là cấp số nhân với công bội q, ta có un +1 = un.q, với mọi số nguyên dương n.
Tính chất của cấp số nhân
Định lí 1: Nếu [un] là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng [trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn] bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u2k = uk-1 . uk+1
Ví dụ: Cho cấp số nhân [un] với công bôi q > 0. Biết u1 = 1, u3 = 3. Hãy tìm u4
Giải:
Theo đính lý 1 ta có
u22 = u1.u3
u32 = u2.u4
Từ [1] do u2 > 0 [ vì u1 = 1 >0 và q > 0]
Từ đây và [2] ta được
SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu [un] và công bội q thì số hạng tổng quát [un] sẽ được tính bởi công thức:
un = u1. Qn-1
Ví dụ: Cho cấp số nhân un với u1 = 3, q = -1/2. Tìm u7
Giải:
un = u1.qn-1 suy ra u7 = u1.q7-1 = 3 . [-1/2]6 = [3/64]
Tìm tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
Giả sử có cấp số nhân [un] với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n gọi sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Ta co công thức sau
Nếu q = 1 thì cấp số nhân là sn = n.u1
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho cấp số nhân lùi vô hạn [un] có công bội là q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn s bằng:
Ví dụ minh họa
Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng [a2 + b2] . [b2 + c2] = [ab + bc]2
Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân ta được ac = b2
Khi: [a2 + b2] . [b2 + c2] = a2b2 + a2c2 + b4 + b2c2 = a2b2 + acb2 + b2c2 = a2b2 + 2ab2c + b2c2 = [ab + bc]2
Như vậy [a2 + b2] . [b2 + c2] = [ab + bc]2
Ví dụ 2: Tính tổng cấp số nhân S = 2 + 6 + 18 + … + 13122
Giải:
Xét cấp số nhân [un] có u1 = 2 và công bội q = 3
Ta có :
13122 = un = unqn-1 = 2.3n-1 => n = 9
Như vậy suy ra
Ví dụ 3: Tìm x để ba số x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân
Giải:
Để 3 x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân điều kiện sẽ là
[ x – 4 ]2 = [ x – 2 ] [ x +2 ] => 8x = 20 => x = 5/2
Vậy x = 5/2 là số cần tìm để ba số x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân
BÀI TẬP RÈN LUYỆN VỀ CẤP SỐ NHÂN
Bài tập 1: Chứng minh các dãy số sau là các cấp số nhân
Giải:
Xét dãy số
Lập tỉ số [ un+1 / un ] ta được :
Suy ra dãy số trên là cấp số nhân có công bội q = 2
Xét dãy số
Lập tỉ số [ un+1 / un ] ta được :
Suy ra [un] là cấp số nhân có công bội q = ½
Xét dãy số
Lập tỉ số [ un+1 / un ] ta được :
Suy ra [un] là cấp số nhân có công bội q = -½
Bài tập 2: Cho cấp số nhân [un] với công bội q
a] Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q
b] Biết q = 2/3, u4 = 8/21. Tìm u1
c] Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy ?
Giải:
Áp dụng công thức un = u1. qn-1
a] Theo công thức un = u1. qn-1 ta có: u6 = u1.q5 => q5 = u6 / u1 = 486 / 2 = 243 => q = 3
b] Theo công thức un = u1. qn-1 ta có: u4 = u1.q3 => u1 = u4 / q3 = 8/21 . [3/2]2 = 9/7
c] Theo công thức un = u1. qn-1 ta có: 12 = 3. [-2]n-1 => [-2]n-1 = 64 => n-1 = 6 => n = 7 như vậy 192 chính là số hạng thứ 7
Bài tập 3: Tìm các số hạng của cấp số nhân [un] có 5 số hạng biết:
a] u3 = 3 và u5 = 27
b] u4– u2 = 25 và u3 – u1 = 50
Giải:
Áp dụng công thức un = u1. qn-1
a] Theo công thức un = u1. qn-1 ta có
u3 = u1.q2 => 3 = u1.q2 [1]
u5 = u1.q4 => 27 = u1.q4 [2]
Từ [1] và [2] suy ra : q2 = [u1.q4] / [u1.q2] = 9 => q = 3 hoặc -3
Với q = 3 ta được u1 = 1/3, ta có cấp số nhân là 1/3, 1, 3, 9, 27
Với q = -3 ta được u1 = 1/3, ta có cấp số nhân là 1/3, -1, 3, -9, 27
b] Theo bài cho ta có :
Thay [2] vào [1] ta được 50.q = 25 => q = ½
Từ [2] suy ra u1 = 50/[q2 – 1] = 50 / [1/4 – 1] = [-200 / 3]
Ta có cấp số nhân :
Bài tập 4 : Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62
Giải :
Tổng của 5 số hạng đầu là 31 như vậy
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31
=> u1q + u2q + u3q + u4q + u5q =31q
=> u2 + u3 + u4 =+ u5 + u6 = 31q [1]
Tổng của 5 số hạng sau là 62 như vậy
u2 + u3 + u4 =+ u5 + u6 = 62 [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra 31q = 62 => q = 2
Vì S5 = 31 = u1[1-25] / [1-2] => u1 = 1
Vậy ta được cấp số nhân : 1, 2, 4, 8, 16, 32
Bài tập 5: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng số daancuar tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng lương như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu ?
Giải:
Gọi số dân của tỉnh đó là N
Sau một năm số dân tăng là 1,4%N
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là n + 1,4%N = 101,4%N
Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thnahf một cấp số nhân như sau
N ; [101,4/100]N ; [101,4/100]2N ; …
Giải sử N = 1,8 triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là:
[101,4/100]5. 1,8 = 1,9 [triệu dân]
Và sau 10 năm sẽ là
[101,4/100]10. 1,8 = 2,1 [triệu dân]
Bài tập 6: Cho cấp số nhân [un]
a] Viết năm số hạng đầu của cấp số;
b] Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;
c] Số 2/6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
Giải:
Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
a] Năm số hạng đầu của cấp số là:
u1=2,u2=2/3,u3=2/9,u4=2/27,u5=2/81
b] Tổng 10 số hạng đầu của cấp số
c] ta có:
Bài tập 7: Cho cấp số nhân [un] có các số hạng khác không, tìm u1 biết:
Giải: