Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: hotro@hocmai.vn Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh
Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.
+] Cho khoảng \[K\] chứa điểm \[x_0\] và hàm số \[y = f[x]\] xác định trên \[K\] hoặc trên \[K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\]
\[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f[x] = L\] khi và chỉ khi với dãy số \[[x_n]\] bất kì, \[x_n ∈ K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\] và \[x_n\rightarrow x_0\], ta có \[\lim f[x_n] =L\].
+] Cho hàm số \[y = f[x]\] xác định trên khoảng \[[x_0; b]\].
\[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f[x] = L\] khi và chỉ khi dãy số \[[xn] bất kì, \[x_0 a\], \[x_n\rightarrow +\infty\] thì ta có \[\lim f[x_n] = -∞\]
+] Cho khoảng \[K\] chứa điểm \[x_0\] và hàm số \[y = f[x]\] xác định trên \[K\] hoặc trên \[K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\]
\[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f[x] = +∞\] và chỉ khi với dãy số \[[x_n]\] bất kì, \[x_n ∈K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\] và \[x_n\rightarrow x_0\] thì ta có: \[\lim f[x_n] = +∞\].
Nhận xét: \[f[x]\] có giới hạn \[+∞ \] khi và chỉ khi \[-f[x]\] có giới hạn \[-∞\].
3. Các giới hạn đặc biệt
- \[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} x = x_0\];
- \[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}c = c\];
- \[\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} c = c\];
- \[\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim}\] \[\frac{c}{x} = 0\] [\[c\] là hằng số];
- \[\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k= +∞\], với \[k\] nguyên dương;
- \[\underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -∞\], nếu \[k\] là số lẻ;
- \[\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k = +∞\] , nếu \[k\] là số chẵn.
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
- Nếu \[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} = L\] và \[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\] \[g[x] = M\] thì:
\[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f[x] + g[x]] = L + M\];
\[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f[x] - g[x] = L - M\];
\[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f[x] . g[x]] = L.M\];
\[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\] \[\frac{f[x]}{g[x]}\]= \[\frac{L}{M}\] [nếu \[M ≠ 0\]].
- Nếu \[f[x] ≥ 0\] và \[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f[x] = L\], thì \[L ≥ 0\] và \[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}\sqrt {f[x]} = \sqrt L\]
Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi \[x_n\rightarrow +\infty\] hoặc \[x_n\rightarrow -\infty\].
Định lí 2.
\[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f[x] = L\] khi và chỉ khi \[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}{+}}{lim}\] f[x] = \[\underset{x\rightarrow x_{_{0}}{-}}{\lim} f[x] = L\].
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
- Quy tắc giới hạn của tích \[f[x].g[x]\]
+ Nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = L \ne 0\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left[ x \right] = 0\] và \[g\left[ x \right] > 0\] hoặc \[g\left[ x \right] < 0\] với mọi \[x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\], trong đó \[J\] là một khoảng nào đó chứa \[{x_0}\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left[ x \right]}}{{g\left[ x \right]}}\] được cho trong bảng sau: