Bạn gặp rắc rối về giải bài tập viết phương trình đường tròn nhưng bạn lúng túng không biết viết như thế nào? Cho nên, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết phương trình đường tròn và các dạng bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé
Lý thuyết phương trình đường tròn
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn [C ] tâm I[a; b] bán kính R có phương trình: [x – a]2 + [y – b]2 = R2
Lưu ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2
2. Nhận xét
+] Phương trình đường tròn [x – a]2 + [y – b]2 = R2 có thể viết dưới dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. Trong đó c = a2 + b2 – R2.
+] Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn [C] khi a2 + b2 – c2 > 0. Khi đó, đường tròn [C] có tâm I[a; b], bán kính R = √a2 + b2 – c
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm M0[x0; y0] nằm trên đường tròn [C] tâm I[a; b]. Gọi ∆ là tiếp tuyến với [C] tại M0.
Ta có M0 thuộc Δ và vectơ IM0 →= [x0−a; y0−b]là vectơ pháp tuyến cuả Δ
Do đó Δ có phương trình là:
[x0 − a][x − x0]+[y0 − b][y − y0] = 0
Phương trình [1] là phương trình tiếp tuyến của đường tròn [x − a]2 + [y − b]2 = R2 tại điểm M0 nằm trên đường tròn.
Tham khảo thêm:
Các dạng bài tập phương trình đường tròn
1. Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn
Phương pháp:
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a. x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0
b. 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0
c. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.
Lời giải:
a. Ta có : −2a = −2 ⇒ a = 1
−2b = −2 ⇒ b = 1⇒ I[1; 1]
R2 = a2 + b2 − c = 12+12−[−2] = 4 ⇒ R = √4 = 2
Cách khác:
x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 ⇔ [x2 − 2x + 1] + [y2− 2y + 1] = 4 ⇔ [x−1]2+[y−1]2 = 22
Vậy đường tròn có tâm I[1;1] bán kính R=2.
b. 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0
⇔ x2 + y2 + x − ½y −11/16 = 0
−2a = 1⇒ a =−½
−2b =−½ ⇒ b =¼
⇒ I[−½; ¼ ]
R2= a2+b2−c = [−½]2+[¼ ]2−[−11/16] = 1⇒ R=√1 = 1
Cách khác
c. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.
−2a =−4⇒a = 2
−2b = 6 ⇒b = −3
⇒I[2;−3]
R2=a2+b2−c = 22+[−3]2−[−3] = 16
⇒R=√16 = 4
Cách khác:
x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.
⇔[x2−4x+4]+[y2+6y+9]=16
⇔[x−2]2+[y+3]2=42
Do đó đường tròn có tâm I[2;−3] bán kính R=4.
2. Dạng 2: Viết phương trình đường tròn
Cách 1:
Tìm tọa độ tâm I[a; b] của đường tròn [C]
Tìm bán kính R của [C]
Viết phương trình [C] theo dạng: [x – a]2 + [y – b]2 = R2 [1]
Chú ý:
- [C] đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.
- [C] đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d[I, ∆].
- [C] tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2
⇔ d[I, ∆1] = d[I, ∆2] = R
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn [C] là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 [2]
Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c
Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào [2], ta được phương trình đường tròn [C]
Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn [C] trong các trường hợp sau:
a. [C] có tâm I[−2;3] và đi qua M[2;−3]; b.[C] có tâm I[−1;2] và tiếp xúc với đường thẳng d:x–2y+7=0
c. [C] có đường kính AB với A[1;1] và B[7;5].
Lời giải
a. Đường tròn [C] có tâm I[a;b] và đi qua điểm M thì có bán kính là R = IM và có phương trình:
[x − a]2+[y − b]2 =R2 = IM2.
[C] có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM.
⇒R2 = IM2 = [2+2]2+[−3−32] = 52
Phương trình [C]: [x+2]2+[y−3]2 = 52
b. Đường tròn [C] có tâm I[a;b] và tiếp xúc với đường thẳng d thì R=d[I;d].
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d
⇒ d[I;d]=R
c. Đường tròn [C] có đường kính AB thì có tâm I là trung điểm của AB và bán kính: R = AB/2.
Tâm I là trung điểm của AB, có tọa độ :
Phương trình cần tìm là: [x−4]2+[y−3]2=13
Ví du: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: A[1;2]; B[5;2]; C[1;−3]
Lời giải:
Gọi phương trình đường tròn có dạng: [C]: x2 + y2 − 2ax – 2by + c = 0
A[1;2]∈[C] nên:12 + 22 – 2a − 4b + c=0 ⇔ 2a + 4b – c = 5
B[5;2]∈[C] nên: 52 + 22 – 10a − 4b + c=0 ⇔ 10a + 4b – c = 29
C[1;−3]∈[C] nên: 12+[−3]2–2a + 6b + c = 0⇔ 2a − 6b – c =10
Phương trình cần tìm là: x2+y2−6x+y−1=0
3. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo[xo;yo] thuộc đường tròn [C]
Tìm tọa độ tâm I[a,b] của đường tròn [C]
Phương trình tiếp tuyến với [C] tại Mo[xo;yo] có dạng:
[x0 -a][x-x0] + [y0 – b][y – y0] = 0
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với [C] khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn [C] tâm I, bán kính R ⇔ d [I, ∆] = R
Ví dụ 1:Cho đường tròn [C] : [x – 3]2 + [y – 1]2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm A[ 4; 4]
Lời giải:
Đường tròn [C] có tâm I[ 3;1]. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn [C] tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau.
⇒ IA→ = [1; 3] là vectơ pháp tuyến của d.
Suy ra phương trình d: 1[ x – 4] + 3[ y – 4 ] = 0
Hay x + 3y – 16 = 0.
Ví dụ 2: Cho đường tròn [x – 3]2 + [y + 1]2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của [ C] song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0
Lời giải:
Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên
phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .
Đường tròn [ C] có tâm I[ 3; -1] và bán kính R = √5
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn [ C] khi :
Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể hệ thống lại kiến thức về phương trình đường tròn để áp dụng vào làm các dạng bài tập liên quan nhanh chóng nhé
Tiết học hôm trước chúng ta đã được tìm hiểu và luyện tập về Phương trình đường thẳng, vậy Phương trình đường tròn thì viết như thế nào? Có tính chất nào khác? Cùng iToan học tập và đánh bay nỗi sợ môn Toán qua những bài giảng trực quan, thú vị nhé! Bài giảng: Phương trình đường tròn dược biên soạn bám sát theo chương trình sách giáo khoa Hình học lớp 10.
Nội dung kiến thức Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn [C] tâm I[a,b] bán kính R có phương trình:
[x−a]^2+[y−b]^2=R^2
Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2+y2=R2
Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính với A[1;1],B[7;5]
Giải
Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra I[4;3],AI=[4−1]2+[3−1]2−−−−−−−−−−−−−−−√=13−−√
Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I[4; 3] làm tâm và bán kính R=AI=13−−√ nên có phương trình là [x−4]2+[y−3]2=13 .
Nhận xét
Phương trình đường tròn [x−a]2+[y−b]2=R2 có thể viết dưới dạng
x2+y2−2ax−2by+c=0
trong đó c=a2+b2−R2
● Phương trình x2+y2−2ax−2by+c=0 là phương trình của đường tròn [C] khi a2+b2−c>0. Khi đó, đường tròn [C] có tâm I[a,b] bán kính
R=√a2+b2−c
Ví dụ
Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.
a. x^2+y^2+2x−4y+9=0 [1]
b. x^2+y^2−6x+4y+13=0 [2]
c. 2x^2+2y^2−6x−4y−1=0 [3]
d. 2x^2+y^2+2x−3y+9=0 [4]
Lời giải
a] Phương trình [1] có dang x^2+y^2−2ax−2by+c=0 với a=−1;b=2;c=9
Ta có a^2+b^2−c=1+4−90 .
B. a2+b2−c2>0 .
C. a2−b2−c2>0 .
D. −a2+b2−c2>0 .
A. [x0−a][x+x0]+[y0−b][y+y0]=0.
B. [x0+a][x−x0]+[y0+b][y−y0]=0.
C. [x0−a][x−x0]+[y0−b][y−y0]=0.
D. [x0+a][x+x0]+[y0+b][y+y0]=0.
A. √2
B.1
C.4
D. 4√2
A. [0,0].
B. [1,0].
C. [3,2].
D. [1,1].
1. B 2.B 3.C 4.C 5.D
Bài giảng kết thúc tại đây. Để luyện tập thêm nhiều bài tập về Phương trình đường tròn cũng như Toán lớp 10, hãy truy cập Toppy. Toppy có đủ các bài giảng bám sát thepo chương trình học trên lớp, cùng với kho tàng bài tập phong phú, chắc chắn sẽ giúp em tìm được hướng đi đúng đắn và phương pháp học hiệu quả.
Đừng học chăm chỉ, hãy học có phương pháp!
>> Xem thêm các bài giảng khác tại iToan:
* Biến đổi các biểu thức hữu tỉ
* Kiến thức về tập hợp số
* Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau