Phương trình đường thẳng trong tam giác
|
Để viết phương trình đường cao trong tam giác thì các bạn có thể viết chúng dưới dạng phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số. Các bạn cần tìm một điểm mà đường cao đi qua và một vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến. Trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với các bạn một số dạng bài tập có thể các bạn sẽ gặp trong quá trình học tập và ôn thi. Tham khảo thêm bài giảng: Bài tập viết phương trình đường cao trong tam giác
Hướng dẫn: a. Ta có: $\vec{AB}(1;-1)$; $\vec{AC}(-3;2)$; $\vec{BC}(-4;3)$ Phương trình đường cao AH: Đường thằng AH đi qua $A(1;2)$ vuông góc với BC nên sẽ nhận $\vec{BC}(-4;3)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng AH là: $-4(x-1)+3(y-2)=0$ <=> $-4x+3y-2=0$ Phương trình đường cao BH: Đường thằng BH đi qua $B(2;1)$ vuông góc với AC nên sẽ nhận $\vec{AC}(-3;2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng BH là: $-3(x-2)+2(y-1)=0$ <=> $-3x+2y+4=0$ Phương trình đường cao CH: Đường thằng CH đi qua $C(-2;4)$ vuông góc với AB nên sẽ nhận $\vec{AB}(1;-1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường cao CH là: $1(x+2)-1(y-4)=0$ <=> $x-y+6=0$ b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên điểm H là giao của ba đường cao AH, BH và CH. Tuy nhiên ta chỉ cần xác định tọa độ điểm H là giao của hai trong ba đường cao là được. Ta chọn tọa độ trực tâm H là giao điểm của hai đường cao AH và BH. Tọa độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}-4x+3y-2=0\\-3x+2y+4=0\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x=-16\\y=-22\end{array}\right.$ Vậy tọa độ trực tâm H là: $H(16;22)$
Hướng dẫn: Để viết được phương trình đường cao AH thì chúng ta cần xác định được một điểm mà đường thẳng đi qua và 1 vectơ pháp tuyến. Với bài toán này chúng ta cần xác định được:  – Tọa độ của điểm A nhờ vào phương trình đường thẳng AB và AC. – Tìm được vectơ pháp tuyến là vectơ $\vec{BC}$. Để tìm được tọa độ của vectơ BC thì cần xác định được tọa độ của hai điểm B và C bằng cách: – Tọa độ hóa điểm B và điểm C dựa vào phương trình đường thẳng AB và AC – Tìm tọa độ trung điểm M của BC (dựa vào điểm A và G) – Tìm mối liên hệ giữa ba điểm B, M và C. Từ đó suy ra được tọa độ của B và C. Lời giải: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}4x-y-7=0\\x-y-1=0\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=1\end{array}\right.$ Vậy tọa độ điểm A là: $A(2;1)$ Gọi $M(x_M;y_M)$ là trung điểm của BC. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: $\vec{AM}=\dfrac{3}{2}\vec{AG}$ <=> $(x_M-2;y_M-1)=\dfrac{3}{2}(0;-1)$ <=> $(x_M-2;y_M-1)=(0;-\dfrac{3}{2})$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x_M-2=0\\y_M-1=-\dfrac{3}{2}\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x_M=2\\y_M=-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$ Vậy tọa độ của điểm M là: $M(2; -\dfrac{1}{2})$ Vì đường thẳng AB có phương trình là $4x-y-7=0$ nên tọa độ điểm B là: $(x_B;4x_B-7)$ (tọa độ hóa điểm B) Vì đường thẳng AC có phương trình là $x-y-1=0$ nên tọa độ điểm C là $C(x_C;x_C-1)$ (tọa độ hóa điểm C) Vì M là trung điểm của BC nên ta có: <=> $\left\{\begin{array}{ll}x_B+x_C=2.2\\4x_B-7+x_C-1=2.\dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll} x_B+x_C=4\\4 x_B+x_C=7 \end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll} x_B=1 \\x_C=3 \end{array}\right.$ Với $x_B=1$ => $y_B=-3$ => $B(1;-3)$ Với $x_C=3$ => $y_C=2$ => $C(3;2)$ Tọa độ của vectơ BC là: $\vec{BC}(2;5)$ Đường cao AH đi qua $A(2;1)$ và nhận $\vec{BC}(2;5)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: $2(x-2)+5(y-1)=0$ <=> $2x+5y-9=0$ Bài giảng này thầy đã có hai bài tập giúp các bạn có thêm phương pháp viết phương trình đường cao trong tam giác nói riêng và viết phương trình đường thẳng nói chung. Hy vọng qua bài viết này các bạn sẽ có nền tảng để phát triển và làm thêm nhiều dạng bài tập khác nữa. Hãy cho biết ý kiến của bạn về bài giảng này và chia sẻ thêm những cách làm hay hơn nữa.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đường cao và đường trung tuyến cùng xuất phát từ một đỉnh. Bài tập:
Phân tích:
Xem thêm bài giảng khác: Hướng dẫn: Phương trình cạnh BC: Vì $BC\bot (d1)$ đường thẳng BC nhận vecto chỉ phương của đường thẳng (d1) làm vecto pháp tuyến. Vecto chỉ phương của đường thẳng (d1) là: $\vec{u_1}=(3;2)$ Suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng BC chính là vecto $\vec{u_1}=(3;2)$ Phương trình đường thẳng BC là: $3(x-4)+2(y+1)=0$=> $3x+2y-10=0$ Tìm tọa độ của điểm A: Vì điểm A là giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}2x-3y+12=0\\2x+3y=0\end{array}\right.$=>A(-3;2) Phương trình cạnh AC: Ta có: $\vec{AC}=(7;-3)$ là chỉ phương của đường thẳng AC => vecto pháp tuyến của đường thẳng AC là $\vec{n_{AC}}=(3;7)$ Đường thẳng AC đi qua A nhận $\vec{n_{AC}}=(3;7)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là: $3(x+3)+7(y-2)=0$ =>$3x+7y-5=0$ Phương trình cạnh AB: Gọi M là trung điểm của BC, khi đó M là giao điểm của (d2) và BC Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin {array}{ll}3x+y-10=0\\2x+3y=0\end{array}\right.$ => M(6;-4) Vì M là trung điểm của BC nên tọa độ của điểm B thỏa mãn: $\left\{\begin {array}{ll}x_B+x_C=2x_M\\y_B+y_C=2y_M\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin {array}{ll}x_B=-x_C+2x_M\\y_B=-y_C+2y_M\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin {array}{ll}x_B=8\\y_B=-7 \end{array}\right.$ => B(8;-7)) Đường thẳng AB đi qua A(-3;2) và nhận $\vec{AB}=(11;-9)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin {array}{ll}x=-3+11t\\y=2-9t\end{array}\right.$ Vậy phương trình các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC là: (AB): $\left\{\begin {array}{ll}x=-3+11t\\y=2-9t\end{array}\right.$; (AC): $3x+7y-5=0$; (BC): $3x+2y-10=0$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Đã gửi 03-05-2013 - 20:41
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1;2), B(3;1), C(5;4). a, Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng chứa đường cao hạ từ A của tam giác ABC b, Tính diện tích tam giác ABC c, Viết phương trình đường tron ngoại tiếp tam giác ABC MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 03-05-2013 - 21:44
Đã gửi 05-05-2013 - 15:41
a, Ta có vecto chỉ phương của BC chính là $\vec{BC}=\left ( 5-3;4-1 \right )=\left ( 2;3 \right )$ $\Rightarrow$ vecto pháp tuyến của BC là $\left ( -3;2 \right )$ PT đương thẳng BC là$-3\left ( x-3 \right )+2\left ( y-1 \right )= 0$ hay$-3x+2y+7=0$ gọi AH là đường cao hạ từ A của $\Delta ABC$ $\Rightarrow AH\perp BC$ $\Rightarrow$ chỉ phương của BC là pháp tuyến của AH nên vecto pháp tuyến của AH là $\left ( 2;3 \right )$ PT đường thẳng AH là $2\left ( x-1 \right )+3\left ( y-2 \right )=0$ hay $2x+3y-8=0$ b,BC=$\sqrt{2^{2}+3^{2}}$=$\sqrt{13}$ tọa độ H là nghiệm của hệ$\left\{\begin{matrix} -3x+2y+7=0 & & \\ 2x+3y-8=0 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{37}{13} & & \\ y=\frac{10}{13} & & \end{matrix}\right.$ AH= $\sqrt{\left ( \frac{37}{13}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{10}{13}-2 \right )^{2}}=\frac{8}{\sqrt{13}}$ diện tích SABC =$\frac{1}{2}.AH.BC= \frac{1}{2}.\frac{8}{\sqrt{13}}.\sqrt{13}= 4$ c,gọi tâm I có tọa độ (x;y) theo bài ra ta có: $IA^{2}= IB^{2}= IC^{2}$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2} & & \\ \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\left ( x-5 \right )^{2}+\left ( y-4 \right )^{2} & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{23}{8} & & \\ y=\frac{13}{4} & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow R=IA=\sqrt{\left ( \frac{23}{8}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{13}{4}-2 \right )^{2}}=\frac{5}{8}\sqrt{13}$ PT đường tròn ngoại tiếp: $\left ( x-\frac{23}{8}\right )^{2}+\left ( y-\frac{13}{4} \right )^{2}= \frac{325}{64}$ bạn xem hộ tớ sai chỗ nào ko nhé Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi10597: 05-05-2013 - 20:33
Đã gửi 05-05-2013 - 17:35
Lắm PT BC quá bạn ơi Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 05-05-2013 - 17:36
Đã gửi 05-05-2013 - 20:34
nhìn lại mặt hàng đi bạn ạ,hehehe
Đã gửi 05-05-2013 - 21:03
Xin chú, sửa lại rồi còn nói |
