Nghiệm dương nhỏ nhất của bất phương trình 2 2 x x x x x 4 5 2 9 5 gần nhất với số nào sau đây

Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶA. Phương trình - bất phương trình chứa căn thứcI. Phương pháp biến đổi tương đương1. Kiến thức cần nhớ:( )( )( )( )2 22 1 2 12 22 1 2 11.2. 03. ,4. 05. ,nnn nn nn nn na aa b a b aba b a b a ba b a ba b a b a b+ ++ +== ⇔ = >= ⇔ = ∀≥ ≥ ⇔ ≥≥ ⇔ ≥ ∀2. Các dạng cơ bản:* Dạng 1: ( ) ( )( )( ) ( )20g xf x g xf x g x ≥= ⇔=(Không cần đặt điều kiện( )0f x ≥)* Dạng 2: ( ) ( )f x g x> xét 2 trường hợp:TH1: ( )( )00g xf x<≥TH2: ( ) ( )2( ) 0g xf x g x≥>* Dạng 3: ( ) ( ) ( )( ) ( )2( ) 00f xf x g x g xf x g x≥≤ ⇔ ≥≤Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai(ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho ( )0g x ≥ rồi bình phương 2 vế đưaphương trình−bất phương trình về dạng quen thuộc.+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 1 20 1 2 10n n nn na x a x a x a x a− −−+ + + + + =L có nghiệm x=αthì chia vế trái cho cho x–α ta được ( )( )1 20 1 2 10n nn nx b x b x b x bα− −− −− + + + + =L, tương tự cho bất phươngtrình.* Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng,nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàmsố không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.* Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trìnhtheo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình−bất phương trình bậc 3và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác.“Cũng như không ?!”Ví dụ 1: Giải phương trình: 013122=+−+− xxx(ĐH Khối D – 2006)Biến đổi phương trình thành: 22 1 3 1x x x− = − + − (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:028116234=+−+− xxxx ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:(*)⇔ (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0.Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ( ) ( )( )224 1 2 10 1 3 2x x x+ ≥ + − +, ĐK: 23−≥x( )( )22 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5pt x x x x x x x x⇔ + + ≥ + + − + ⇔ + + ≥ + (1), Với 32x ≥ − hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3 0≥( ) ( )23 1 0x x⇔ − + ≥b) Tương tự với 2 dạng: * ( ) ( )f x g x≥* ( ) ( )f x g x<Ví dụ 1: Giải bất phương trình ( )22 6 1 2 0 1x x x− + − + <Giải( )21 2 6 1 2x x x⇔ − + < − bất phương trình tương đương với hệ:Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến1Trường THPT Thanh Chương 1 2008-20092222 03 7 3 7 3 72 6 1 0 32 2 22 6 1 21 3xxx x x x xx x xx>− >− + +− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ≤  − + < −− < <Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 22 1 2x mx m− + = −có nghiêm.Giải* Nếu m < 2 ⇒ phương trình vô nghiệm.* Nếu m ≥ 2 ⇒ phương trình ⇔ x2−2mx−m2+4m−3=0. Phương trình này có ∆=2m2−4m+3>0 với mọi m.Vậy với m ≥ 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 22 3 1x mx x+ − = + có hai nghiệm phân biệt.Giải: Cách 1: ( )212 4 0,(*)xPTx m x≥ −⇔+ − − =, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:2 21 22 4 20 2 4 200, 02 2m m m m m mx x− + − + − − − += > = <. Phương trình đã cho có 2 nghiệm ⇔(*) có 2 nghiệm 1x ≥ −⇔( )222241 4 4 20 14 4 20mx m m m mm m m≤≥ − ⇔ − ≥ − + ⇔ ⇔ ≤ −− ≥ − +Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với 1 0x t≥ − ⇒ ≥.(*) trở thành: ( ) ( ) ( )21 2 1 4 0t m t− + − − − = (**). Để (*) có 2 nghiệm 1x ≥ −thì (**) phải có 2 nghiệm 0≥t.Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 22 2 1x mx x+ + = +, (1)Giải: ( ) ( )22 1 03 4 1 0, 2xptx m x+ ≥⇔− − − = để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 12−hay ( )24 12 01 902 212 2mf mS∆ = − + > − ≥ ⇔ ≥ ÷ > −.Chú ý : Cách 2: đặt 12t x= +, khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 12− thì( )21 13 4 1 02 2t m t   − − − − − = ÷  ÷    có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.3. Các kỹ năng:a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âmhai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4x x x− − − > − (ĐH Khối A – 2005)Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5 1 1 2 4x x x− > − + − khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải.Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )21 2 2 1x x x x x− + + =.GiảiĐiều kiện: ( )12 *0xxx≥≤ −=( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )2 2 2 222 2 221 2 2 1 2 4 2 1 2 2 14 2 2 18 9 0x x x x x x x x x x xx x x x xx x⇔ + + − + = ⇔ − + = −⇔ + − = −⇔ − =Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến2Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 98x =.(Hãy tìm thêm cách giải khác)Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2 22 4 0x mx x− − − = có nghiệm.HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được 21,2162m mx± −=. Kết hợp với điều kiện ta tìm được |m| ≥ 4.b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thứcLưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: 27 7x x+ + =.HD:• Bình phương hai vế.• Dùng hằng đẳng thức a2 − b2=0.• Nghiệm 1 292,2x x−= =.Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a. ( )2241 1xxx> −+ +b. ( )2 23 2 3 2 0x x x x− − − ≥ĐS: a. −1≤x<8, b. { }[)1; 2 3;2 −∞ − +∞ U U.Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hainghiệm thực phân biệt:( )22 8 2x x m x+ − = −.(1)Giải: ĐK: 2≥x, do m > 0.( )( ) ( )=−+=⇔−=+−⇔)2(,326224223mxxxxmxxpt. Để chứng minh 0>∀m, phương trình (1) có2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2.Thật vậy: đặt ( )3 26 32, 2f x x x x= + − ≥, ta có f(2) = 0, ( ) ( )' 2lim , 3 12 0, 2xf x f x x x x→+∞= +∞ = + > ∀ ≥nên f(x) là hàm liên tục trên [)2; +∞ và đồng biến trên khoảng đó suy ra 0>∀m phương trình (2) luôn cónghiệm x0 mà 2 < x0 < ∞+.Một số dạng chuyển thành tích:- Dạng: ( ) ( )- -a c x b dax b cx dm++ ± + =Ta biến đổi thành: ( ) ( )( )m ax b cx d ax b cx d+ ± + = + − +Ví dụ: Giải phương trình: 34 1 3 25xx x++ − − =. ĐS: x=2.- Dạng: u+v=1+uv ⇔ (u-1)(v-1)=0Ví dụ: Giải phương trình: 323 31 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +. ĐS: x=0, x=−1.Ví dụ: Giải phương trình: 3 2441 1x x x x+ + = + +. ĐS: x=0, x=1.- Dạng: au+bv=ab+uv ⇔ (u−b)(v−a)=0Ví dụ 1: Giải phương trình: 23 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +. ĐS: x=0, x=1.Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 2 2 23 3 2 3 2 2x x x x x x x+ + + + = + + +. ĐS: x=0.- Dạng: a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=bVí dụ: Giải phương trình: ( ) ( )22332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + +. ĐS: x=1.c. Chuyển về dạng: A1 + A2 + + An = 0 với ,0 1iA i n≥ ≤ ≤ khi đó pt tương đương với:, ,1 20 0 0LnA A A= = =.Ví dụ 1: Giải phương trình:24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x+ + = + + −.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến3Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009HD: Phương trình tương đương ( ) ( )24 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x− + + + − − + − =. ĐS: x=1.Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 24 2 4x y y x y− − + = +.GiảiBình phương hai vế ta được ( ) ( ) ( )( )2 2212 1 2 2 2 4 0 , 2.2x y y x y x y− + + + + + = ⇔ = = −d. Sử dụng lập phương:Với dạng tổng quát 3 3 3a b c± = ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức( ) ( )33 33a b a b ab a b± = ± ± ± khi đó phương trình tương đương với hệ 3 3 333a b ca b abc c± =± ± =. Giải hệ này ta cónghiệm của phương trình.Ví dụ: Giải bất phương trình 3 3 31 2 2 3x x x− + − = −. ĐS: 31; 2;2x x x= = =.e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ( )( )22 1673 13 3xxxx x−−+ − >− − (ĐH Khối A−2004)GiảiĐK: 4≥x. ( )( ) ( )2 21 2 16 3 7 2 16 10 2⇔ − + − > − ⇔ − > −x x x x x ( )( )224510 2 010 2 010 34 52 16 10 2xxxxxx x≥⇔ >− <⇔− ≥⇔ − < ≤− > −Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 10 34> −x.- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a. ( )2 23 4 9x x x− + ≤ −b. 251 211x xx− −<−.HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3. ĐS: 536x x< − ∨ ≥.b. Xét hai trừng hợp của x−1. ĐS: 1 52 5 1x x− ≤ < − ∨ >.Bài tậpBài 1: Giải các phương trình sau:a. ( )22 1 1 0x x x x x x− − − − + − =.HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2 2 3 22 4 4 6 4 0x x x x x x x x− − − + − + − =.2 2( 2)(2 2 2) 0x x x x x⇔ − − + − + =b. 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − − = +. HD: Nhân lượng liên hợp.Bài 2: Giải bất phương trình sau: 21 2 1 2 2 .x x x− + + ≥ −HD: Cách 1: Đặt 4 2241 2 1 216t tt x x x−= − + + ⇒ = −. Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2 0≥.Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3 2x x− − = −. (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức). Bài 4: Giải phương trình 221 13x x x x+ − = + −.Bài 5: Giải phương trình 22 6 1 1x x x+ + = +.Bài 6: Giải các phương trình sau:Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến4Trường THPT Thanh Chương 1 2008-20091. 21 1x x− = +2. 3 32 2 3 1x x− + − =3. 3 3 32 2 2 9x x x+ + − =4. 33 31 1 2x x x− + + =5. 21 1 24xx x+ + − = −6. 22 3 3 14xx x− ++ = + +7. 5 3 3 1 1x x x− + − = −. (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0≥).Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m+ + − =.Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 24x x x m− = +.a. Có nghiệm.b. Có hai nghiệm phân biệt.Bài 9: Giải các bất phương trình sau:a. 21 1 43xx− −<.b. 2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + ≤ + +.c. 2 2 22 2 3 4 5x x x x x x+ − + + − ≤ + −.Bài 10: Giải các phương trình:a. 3 32 23 31x x x x x+ + = + +. b. 43 43xx xx+ + =+.c. 34 3 1 4x xx+ = + +. d. 22 3 9 4x x x+ = − −.e. 2 22 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x− + + + = + +.II. Phương pháp đặt ẩn phụ:Dạng 1: ( )( )0nF f x =, đặt ( )nt f x= (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t ≥ 0).Ví dụ 1: Giải các phương trình: a. 2 211 31x x+ + =. b. ( ) ( )25 2 3 3x x x x+ − = +.HD: a. Đặt 211, 0t x t= + ≥. ĐS: x=±5.b. Đặt 23 , 0t x x t= + ≥. ĐS: 3 1092x− ±=.Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 22 2 5 2x x m x x m+ + − − =.GiảiĐặt: ( )225 2 6 1 0; 6t x x x t = − − = − + ⇒ ∈ .Khi đó phương trình trở thành ( )2 22 5 0 * 5t mt m t m− + − = ⇔ = ±. Phương trình đã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm 0; 6t ∈  hay 0 5 6 5 6 50 5 6 5 6 5m mm m ≤ + ≤ − ≤ ≤ −⇔ ≤ − ≤ ≤ ≤ +  .Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: ( )2( 2 2 1) 2 0m x x x x− + + + − ≤, (1) có nghiệm0;1 3x ∈ + .Giải: Đặt 2 2 22 2 2 2t x x x x t= − + ⇒ − = −. Nếu [ ]31;0 +∈x thì ( )[ ]2;1112∈+−= xt BPT trở thành: ( ) ( )21 2 0, 2m t t+ + − ≤Khi đó ta có 221tmt−≥+, với 1 2t≤ ≤. Đặt ( )221tf tt−=+, dùng đồ thị ta tìm được 23m ≤.Dạng 2: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + =, đặt ( ) ( )t f x g x= ±, bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t.Ví dụ 1: Cho phương trình ( ) ( )3 6 3 6x x m x x+ + − = + + −.a. Giải phương trình khi m=3.b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến5Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009GiảiĐặt: ( ) ( ) ( )23 6 9 2 3 6 *t x x t x x= + + − ⇒ = + + −. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy( ) ( )2 3 6 9x x+ − ≤ nên từ (*) ta có 3 3 2t≤ ≤.Phương trình đã cho trở thành t2−2t−9=−2m (1).a. Với m=3 (1) ⇔ t2−2t−3 ⇔ t =3. Thay vào (*) ta được x=−3, x=6.b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm 3;3 2t ∈ . Xét hàm số ( )22 9f t t t= − − với3;3 2t ∈ , ta thấy f(t) là một hàm đb nên: ( )( )6 (3) 3 2 9 6 2f f t f− = ≤ ≤ = − với 3;3 2t ∈ . Do vậy (1) có nghiệm 3;3 2t ∈  khi và chỉ khi 6 2 96 2 9 6 2 32m m−− ≤ − ≤ − ⇔ ≤ ≤Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:Cách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ).Ví dụ 2: Giải phương trình ( )3 33 335 35 30x x x x− + − =.HD: đặt: 33 33 33535 353tt x x xt−= − ⇒ − =. ĐS: x=2, x=3.Ví dụ 3: Giải bất phương trình 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − ≤ −.HD: Đặt 7 7 7 6 0t x x= + + − ≥ ⇒ … 667x≤ ≤.Dạng 3 :( ) ( )( ), 0n nF f x g x =, trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k.TH1: Kiểm tra nghiệm với ( )0g x =.TH2: Giả sử ( )0g x ≠ chia hai vế phương trình cho ( )kg x và đặt ( )( )nf xtg x=.Ví dụ 1: Giải phương trình ( )3 25 1 2 2x x+ = +.ĐK: 1x ≥ −. ( )( )( ) ( )( )3 2 2 25 1 2 2 5 1 1 2 1 2 1x x x x x x x x+ = + ⇔ + − + = − + + + 2 21 12 5 2 01 1x xx x x x+ +⇔ − + =− + − +Đặt 21, 01xt tx x+= ≥− +. Phương trình trở thành 222 5 2 012tt tt=− + = ⇔=.• Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm.• Với 12t =: Phương trình đã cho có nghiệm 5 372x±=.Ví dụ 2: Giải phương trình 2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +.GiảiĐK: 5x ≥. 2 2 2 25 14 9 20 5 1 5 14 9 5 1 20x x x x x x x x x x+ + − − − = + ⇔ + + = + + − −Bình phương hai vế: ( )( )( )( )2 22 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x− − + + = − − +Đặt 24 5, 0.4x xt tx− −= ≥+ phương trình trở thành 232 5 3 0 1,2t t t t− + = ⇔ = =.• Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm 5 61 5 615, 52 2x x+ −= > = <.• Với 32t =: Phương trình đã cho có nghiệm 78 5, 55x x= > = − <.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến6Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 5 61, 82x x+= =.Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 243 1 1 2 1x m x x− + + = −.HD: ĐK 1x ≥. Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 241x − đặt4 41 211 1xtx x−= = −+ + ( )0 1t< <. ĐS 113m− < ≤.Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để).( ) ( ) ( ) ( )0af x g x f x h x+ + =. Đặt ( )t f x=, khi đó phương trình trở thành ( ) ( )20at g x t h x+ + =.Ví dụ: Giải phương trình ( )2 22 1 2 1 2 1x x x x x− + − = − −.HDĐặt 22 1 1 6t x x x= + − ⇒ = − ±L.(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!)Bài tậpGiải các phương trình sau:1. ( )2 32 5 2 4 2 21 20x x x x− + = − −ĐS: 9 193 17 3 73,4 4x x± ±= =.2. ( )33 23 2 2 6 0x x x x− + + − =Đặt 2y x= +, ĐS: 2, 2 2 3x x= = −.3. ( )2 32 3 2 3 8x x x− + = +ĐS: 3 13x = ±.4. 1 1 12 1 3xx xx x x−+ = − + −Đặt 11tx= +, ĐS: 1 52x+=.Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác).Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ đểchuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra kháhiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giảiquyết bài toán lượng giác này.Lưu ý vài tính chất cơ bản:* sin 1, cos 1a a≤ ≤. * 2 2sin cos 1a a+ =.* 2211 tancosaa+ =* 2211 cotsinaa+ =.Ví dụ 1: Giải phương trình 2 21 1 2x x+ − =.GiảiĐK 1x ≤. Đặt [ ]cos , 0;x t tπ= ∈. Khi đó phương trình trở thành2 2 21 1 cos 2 cos 2sin sin 1 0.t t t t+ − = ⇔ + − = Ta tìm được: 1sin2t =. Khi đó23cos 1 sin2x t t= = ± − = ±.Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định ( )u x a≤. Ta có thể nghĩ đến cách đặt ( )sin , ;2 2u x a t tπ π = ∈ −   hoặc đặt ( )[ ]cos , 0;u x a t tπ= ∈.* Nếu ( )[ ]0;u x a∈ ta có thể đặt ( )2sin , 0;2u x a t tπ = ∈  .Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) ( )33 2 21 2 1x x x x+ − = −.HD: Đặt [ ]cos , 0;x t tπ= ∈ dưa về phương trình lượng giác ( ) ( )sin cos 1 sin cos 2 sin cost t t t t t+ − =. Để gảiphương trình này ta lại đặt sin cos , 2u t t u= + ≤.ĐS: 2 1 2 2 2,2 2x x− − −= =.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến7Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Ví dụ 3: Giải phương trình 2 31 4 3x x x− = −. ĐS: 1 2 2,42x x+= − = ±.Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình).* Khi gặp phương trình có dạng ( ) ( ) ( )( ), ,+ − = 0n mF f x a f x b f x.Đặt ( ) ( ),n mu a f x v b f x= + = −. Khi đó ta được hệ phương trình sau: ( ), 0n mF u vu v a b =+ = +. Giải hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình ( )nu a f x= + hoặc ( )mv b f x= −.Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( )3 6 3 3 6x x x x+ + − = + + −. ĐS: 0, 3x x= = −.Ví dụ 2: Giải phương trình: 324 12 6x x+ + − =. ĐS: 24, 88, 3x x x= − = − =.Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 417 3x x+ − =. ĐS: 1, 16x x= =.Ví dụ 4: Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )2 23 332 7 2 7 3x x x x− + + − − + =. ĐS: 1, 6x x= = −.Ví dụ 5: Giải phương trình: 33 31 3 2x x− + − =, đặt 3 31, 3,u x v x= − = − pt trở thành: 33 322u vu v+ =− =Ví dụ 6: Giải phương trình: 31 112 2x x+ + − =, đặt 31 1,2 2u x v x= + = −Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: axx =++−3311có nghiệm.Đặt 331,1 xvxu +=−=. Phương trình trở thành: ( )2 22a u v uvu v a+ − =+ =TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.TH2: 0a ≠, hệ phương trình trở thành 21 23u v auv aa+ = = − ÷ . Hệ có nghiệm khi 24 0 0 2S P a− ≥ ⇔ < ≤. Vậy phương trình có nghiệm khi 0 2a< ≤.* Khi gặp phương trình có dạng ( ) ( )+ = −nnf x b a af x b.Đặt ( ) ( ),nt f x y af x b= = − ta có hệ nnt b ayy b at+ =+ =.Ví dụ 1: Giải phương trình 332 1 2 2 1x x+ = −. ĐS: 1 51,2x x− ±= =.Ví dụ 2: Giải phương trình 232 42xx x++ =. GiảiĐK 3x ≥ −. ( )( )( )2 221 23 1 12 4 2 1 2 1 1 12 2 2 2xx xx x x x+ ++ ++ = ⇔ + − = ⇔ + − = +.Đặt 211, 1 1 12 2 2x t tt x y y+= + = + = + ⇒ − =. Ta được hệ phương trình 22112112t yy t− =− =. Giải thêm chút nữa ta được kết quả! ĐS: 3 17 5 13,4 4x x− − ± − ±= =.Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được nghiệm, nên ta phải biến đổiđể xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ.Ví dụ 3: Giải phương trình 24 7 1 2 2x x x+ + = +. ĐS: 7 11, ,4 4x x x= − = − =.Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến8Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Bài tập:Bài 1: Giải các phương trình sau:1. 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +2. 2 22x x x x+ + = +3. 2 24 2 1 2 2 9x x x x x x+ + + + + = + +4. 4 1 52x x xx x x+ − = + −.Bài 2: Giải cácbất phương trình sau:1. 2 25 10 1 7 2x x x x+ + > − −2. 324 12 6x x+ + − ≤3. 2 22 5 6 10 15x x x x+ − − > +4. 21 1 24xx x+ + − ≤ −.Bài 3: Giải các phương trình sau:1. 3 312 14 2x x− + + =2. 33 31 3 2x x− − − =3. 2 3 21 2 1 3x x− + − =4. 22 2x x− + = −5. 21 1 24xx x+ + − = − (đặt 1 1t x x= + + −).III. Phương pháp hàm sốCác tính chất:Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá mộtnghiệm trong khoảng (a;b).Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có ( )( )f u f v u v= ⇔ =.Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiềunhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ( )bac ;∈∃:( )( ) ( )'F b F aF cb a−=−. Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì( ) ( ) ( ); : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ = có nghiệm thuộc (a;b).Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệmthuộc D. Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến(nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x)đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v.Ví dụ: Giải phương trình: 24 1 4 1 1x x− + − =ĐK: 12x ≥. Đặt ( )24 1 4 1f x x x= − + −. Miền xác định: 12x ≥, ( )'22 404 14 1xf xxx= + >−−.Do đó hàm số đồng biến với 12x ≥, nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Thấy 12x = lànghiệm của phương trình.Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng d: y = g(m).B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m) B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: ( ) ( ) ( )min , max ,x Dx Df x m g m f x m∈∈≤ ≤.* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) .Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2 21 1x x x x m+ + − − + =có nghiệm.TXĐ: RChuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến9Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Xét hs: ( )2 21 1y f x x x x x= = + + − − +, Df = R, 2 22 1 2 1'1 1+ −= −+ + − +x xyx x x x( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )' 2 22 22 22 1 2 1 00 2 1 1 2 1 12 1 1 2 1 1− + >= ⇔ − + + = + − + ⇔− + + = + − +x xy x x x x x xx x x x x x (v.nghiệm)Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến.Giới hạn: 2 22 22lim lim 11 12lim lim 11 1x xx xxx x x xxx x x x→−∞ →−∞→+∞ →+∞= = −+ + + − += =+ + + − +BBT: x ∞−∞+y’ +y 1−1Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 < m < 1.Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tậpgiá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìmgiới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 3 1mx x m− − ≤ +, ĐK: 3x ≥1 31xbpt mx+ −⇔ ≥−, xét hs ( )21 3 5'12 3 1x xy yxx x+ − −= ⇒ =−− −. '0 5y x= ⇔ =. lim 0xy→+∞= và f(3) = 12.BBT:x 3 5∞+y’ + 0 − y y(5) 12 0Vậy bất phương trình có nghiệm ( )3 154y m m+⇔ ≥ ⇔ ≤Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: ( )12 5 4x x x m x x+ + = − + − có nghiệm.Giải: ĐK: 0 4x≤ ≤( )( 12) 5 4pt x x x x x m⇔ + + − + − = xét hs ( )( )( 12) 5 4y f x x x x x x= = + + − + −. Miền xácđịnh: [ ]0;4D =Nhận xét: Hàm số ( )12h x x x x= + + đồng biến trên D.Hàm số ( )5 4g x x x= − + − đồng biến trên D.Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D. Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi( ) ( )0 4f m f≤ ≤Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 23 1x m x+ = +Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng: 231xmx+=+Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C): 231xyx+=+ và đường thẳng: y = m.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến10Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Lập BBT :x∞−1/3 ∞+y’ + 0 −y 101−1KL:1 10m m≤ − ∨ >: phương trình vô nghiệm.1 1m− < ≤hoặc 10=m: phương trình có nghiệm duy nhất.1 10m< <: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ( ) ( )1 3 1 3x x x x m− + − − − − =, (1)Giải: ĐK: 1 3x≤ ≤. Đặt 1 3t x x= − + −, lập BBT của t(x) với 1 3x≤ ≤ ta có 2 2t≤ ≤Khi đó phương trình (1) trở thành: 12−t2 + t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với 2 2t≤ ≤ từđó kết luận: 1 2m≤ ≤.Bài tập:Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 29 9x x x x m+ − = − + +.Bài 2. Giải các phương trình sau:1. 2 21 1 3 1x x x x+ + − − + = −2. ( ) ( )1 3 1 3 1x x x x− + − − − − =3. ( )12 12 5 4x x x x x+ + = − + −B. Hệ phương trình - hệ bất phương trình chứa căn.1. Phương pháp biến đổi tương đương:Ta thực hiện theo các bước sau:B1: Đặt điều kiện (nếu có).B2: Biến đổi về phương trình – bất phương trình − hệ phương trình đơn giản mà ta đã biết cách giải bằng cách: thế, khử biến B3: Kết luận. (chú ý điều kiện và sự biến đổi tương đương hay hệ quả)Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 5 2 72 5 7x yx y+ + − =− + + =.GiảiĐiều kiện: 22xy≥≥.Bình phương 2 vế và trừ vế theo vế ta có: ( ) ( ) ( ) ( )5 2 2 5x y x y x y+ − = − + ⇔ =.Thay x = y vào 1 trong 2 phương trình, giải ra ta được x = y = 11.Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình: 2 12 1x yy x≥ =≥ +GiảiĐiều kiện: 0, ≥yx.cộng vế theo vế ta được: ( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 0 0x y x y x y x y+ ≥ + + ⇔ − + − ≤ ⇔ = =Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 01x y mx xy− − =+ = ( )( )( )( )2222212 2 1 0 (*)11, 1, 0y x my x mxhpt x m x m xxxxy xy x xx= −= −− ⇔ ⇔ ⇒ = − ⇔ + − − = −= −= ≤ ≠Phải tìm m để (*) có đúng một nghiệm thoả: 1, 0x x≤ ≠.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến11Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009TH1: xét x = 1:TH2: (*) có nghiệm kép 1x ≤:TH3: (*) có 2 nghiệm 1 21x x< <:Chú ý: Có thể dùng đồ thị đối với ( )21, 1, 0xy x xx−= ≤ ≠Ví dụ 4: giải: 2 2 2 22 2 2 2( ) 185( ) 65x xy y x yx xy y x y+ + + =− + + =Giải: Cộng từng vế của 2 phương trình ta được:( ) ( )32 2 2 2 2 2 2 22 250 125 5x y x y x y x y+ + = ⇔ + = ⇔ + =. Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: ( )2, 11,(2)x y x yy x y x+ + − =+ − − =Giải: ĐK: x,y x y≥ ≥. ( )221 24 4xx y xx y≤⇔ − = − ⇔− =( )212 2 1 224 4 1yy y xx y≥⇔ − = − ⇔− = −KQ: 17 5;12 3  ÷ .Bài tập: Giải các hệ: phương trình sau:1. 33x yy x− =− =2. 33x y xyx y+ + =− =3. ()2 23 333723x y x y xyx y− = −− = 4. 22420280x y xyy x xy+ =+ =5. 2 2 2 211x y x yx y x y+ − − =+ + − =6. 2 2 2 224x y x yx y x y+ − − =+ + − = 7. 2 2 2 2 2x y x y ax y x y a+ − − =+ + − =(a > 0) 8. 2 224x y x yx y x y+ − − =− + + = 9. ( )()2 23 3332 36x y x y y xy x+ = ++ =10. 3035x y y xx x y y+ =+ =11.22114114x yy x− =− =Bài 2: Tìm a để hệ phương trình có 2 nghiệm: x y xy ax y a+ + =− =Bài 3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: 1 23x y mx y m+ + + =+ = 2. Phương pháp đặt ẩn phụ:Ta thực hiện theo các bước sau:B1: Điều kiện (nếu có).B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụB3: Giải hệ nhận được, từ đó suy ra nghiệm x, y.B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ đó kết luận.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến12Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình: 1 1 132x yx y− + − =+ ≤ điều kiện: , 1x y ≤Đặt 1 , 1u x v y= − = − ĐK: , 0u v≥, khi đó hệ được biến đổi về dạng:2 2210 10 1 0 0 131 14 4 1 02u vuu x xu vu u+ =≤ ≤⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ − + − ≤− + ≥Vậy nghịêm của hệ là cặp nghiệm (x; y) thoả: ( )20 11 1 1xy x≤ ≤= − − −Ví dụ 2: (ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình: 3( , )1 1 4x y xyx y Rx y+ − =∈+ + + =Điều kiện: 0, 1, 1xy x y≥ ≥ − ≥ −. Đặt 3t xy x y t= ⇒ + = +. Bình phương phương trình 2, thay ẩn phụ vào,giải tìm được t = 3. Giải thêm chút xíu nữa ta được nghiệm.Bài tập: Giải các hệ phương trình sau:1. ( )3 49x y xyxy+ ==2. 2 22 8 24x y xyx y+ + =+ =3. 2 1 31 2 2x yx y+ + =+ + =4. 334x y x yx y x y− = −+ = + −5. 13 312 8x x yyx yy+ + + − =+ + =6. 2 21484x y xyx y xy+ + =+ + =`−Hết−Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến13