Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB = 2a, AD = DC = CB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a [minh họa như hình bên]. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB vad DM bằng
- A.
\[\frac{3a}{4}\] - B.
\[\frac{3a}{2}.\] - C.
\[\frac{3\sqrt{13}a}{13}.\] - D.
\[\frac{6\sqrt{13}a}{13}.\]
Lời giải tham khảo:
chen-hinh-htn Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đáp án đúng: A
Ta có BCDM là hình bình hành [vì CD song song và bằng BM] nên \[DM=BC=\frac{1}{2}AB\] suy ra tam giác ADB vuông tại D. Tương tự tam giác ACB vuông tại C.
Vì \[DM\text{//}CB\Rightarrow DM\text{//}\left[ SBC \right]\] \[\Rightarrow d\left[ DM,SB \right]=d\left[ DM,\left[ SBC \right] \right]=d\left[ M,\left[ SBC \right] \right]=\frac{1}{2}d\left[ A,\left[ SBC \right] \right]\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AC\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SAC} \right] \Rightarrow \left[ {SBC} \right] \bot \left[ {SAC} \right]\], do đó gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC thì \[AH\bot \left[ SBC \right]\Rightarrow d\left[ A,\left[ BC \right] \right]=AH\]
Trong tam giác vuông SAC ta có \[\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{9{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{4}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{3a}{2}\]
Vậy\[d\left[ SB,DM \right]=\frac{3a}{4}\]
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải