Nếu đang tìm kiếm một tài liệu học tập về phần hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, các em hãy tham khảo ngay tài liệu dưới đây với hệ thống lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cùng các dạng bài tập thường gặp, giúp các em nắm được trọn vẹn phần kiến thức này. Các thầy cô cũng có thể sử dụng bài tổng hợp này như một tài liệu hữu ích phục vụ quá trình dạy học của mình.
Bạn đang xem: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cùng tham khảo nhé!
- Nếu hai phương trình [1] và [2] có nghiệm chung \[[{x_0},\,{y_0}]\] thì \[[{x_0},\,{y_0}]\] được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình [1] và [2] không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.Hệ phương trình tương đương
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d":a"x + b"y = c".\]Trường hợp 1. \[d \cap d" = A\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \Leftrightarrow\] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\];Trường hợp 2. \[d//d" \Leftrightarrow\] Hệ phương trình vô nghiệm;Trường hợp 3. \[d \equiv d" \Leftrightarrow\] Hệ phương trình có vô số nghiệm.Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a"}} \ne \dfrac{b}{{b"}}\];Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a"}} = \dfrac{b}{{b"}} \ne \dfrac{c}{{c"}}\];Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a"}} = \dfrac{b}{{b"}} = \dfrac{c}{{c"}}\].Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.Phương pháp:Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a"x + b"y = c"\end{array} \right.\]- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a"}} \ne \dfrac{b}{{b"}}\]- Hệ phương trình vô nghiệm \[\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a"}} = \dfrac{b}{{b"}} \ne \dfrac{c}{{c"}}\]
- Hệ phương trình có vô số nghiệm \[\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a"}} = \dfrac{b}{{b"}} = \dfrac{c}{{c"}}\]Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?Phương pháp:Cặp số \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a"x + b"y = c"\end{array} \right.\] khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Xem thêm: Giải Toán 7 Bài 8 Tính Chất Của Dãy Tỉ Số Bằng Nhau, Tính Chất Của Dãy Tỉ Số Bằng Nhau
Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thịPhương pháp:Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a"x + b"y = c"\end{array} \right.\] bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d:ax + by = c và d':a'x + b'y = c' trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm củ hai đường thẳng.Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 [hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng].
Đọc và tìm hiểu về hệ phương trình [sgk trang 7]
B. Hoạt động hình thành kiến thức
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a] Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 7]
b] Ví dụ [sgk trang 8]
c] Trả lời câu hỏi
Trong các hệ phương trình sau đây, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?
[I]$\left\{\begin{matrix}x + y =1\\ -2x + y = 2\end{matrix}\right.$
[II] $\left\{\begin{matrix}0x + 2y = -2\\ x - 5y = 4\end{matrix}\right.$
[III]$\left\{\begin{matrix}2x + y = -1\\ 3x^2 + 2y = 5\end{matrix}\right.$
Trả lời:
c] Trong các hệ phương trình trên, hệ phương trình [I] và [II] là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.
2. Hệ phương trình tương đương
a] Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 8]
b] Ví dụ [sgk trang 8]
3. Quy tắc thế
a] Thực hiện theo hướng dẫn sau [sgk trang 8]
b] Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 9]
c] Ví dụ [sgk trang 9]
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
a] Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 9]
b] Ví dụ [sgk trang 9]
c] Giải các hệ phương trình sau:
[I]$\left\{\begin{matrix}x + 2y =0\\ 3x - 2y = 5\end{matrix}\right.$
[II]$\left\{\begin{matrix}3x - 4y = 1\\ 6x - 8y = 3\end{matrix}\right.$
[III] $\left\{\begin{matrix}3x + y = 4\\ 9x + 3y = 12\end{matrix}\right.$
Trả lời:
c]
[I]$\left\{\begin{matrix}x + 2y =0\\ 3x - 2y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ 3\times [-2y] - 2y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ -6y - 2y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ -8y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ y = \frac{-5}{8}\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x = \frac{5}{4}\\ y = \frac{-5}{8}\end{matrix}\right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x; y] = [$\frac{5}{4};\;\frac{-5}{8}$].
[II] $\left\{\begin{matrix}3x - 4y = 1\\ 6x - 8y = 3\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{4y}{3} + \frac{1}{3}\\ 0y + 2 = 3\end{matrix}\right.$ [sai]
Vậy hệ phương trình không có nghiệm.
[III] $\left\{\begin{matrix}3x + y = 4\\ 9x + 3y = 12\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = 4 - 3x\\ 9x + 3[4 - 3x] = 12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = 4 - 3x\\ 12 = 12 \end{matrix}\right.$ [luôn đúng]
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm [x; y] = [$x \in R;\;y = 4 - 3x$].
Đọc và tìm hiểu về hệ phương trình [sgk trang 7]
B. Hoạt động hình thành kiến thức
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a] Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 7]
b] Ví dụ [sgk trang 8]
c] Trả lời câu hỏi
Trong các hệ phương trình sau đây, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?
[I] $\left\{\begin{matrix}x + y =1\\ -2x + y = 2\end{matrix}\right.$
[II] $\left\{\begin{matrix}0x + 2y = -2\\ x - 5y = 4\end{matrix}\right.$
[III] $\left\{\begin{matrix}2x + y = -1\\ 3x^2 + 2y = 5\end{matrix}\right.$
Trả lời:
c] Trong các hệ phương trình trên, hệ phương trình [I] và [II] là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.
2. Hệ phương trình tương đương
a] Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 8]
b] Ví dụ [sgk trang 8]
3. Quy tắc thế
a] Thực hiện theo hướng dẫn sau [sgk trang 8]
b] Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 9]
c] Ví dụ [sgk trang 9]
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
a] Đọc kĩ nội dung sau [sgk trang 9]
b] Ví dụ [sgk trang 9]
c] Giải các hệ phương trình sau:
[I] $\left\{\begin{matrix}x + 2y =0\\ 3x - 2y = 5\end{matrix}\right.$
[II] $\left\{\begin{matrix}3x - 4y = 1\\ 6x - 8y = 3\end{matrix}\right.$
[III] $\left\{\begin{matrix}3x + y = 4\\ 9x + 3y = 12\end{matrix}\right.$
Trả lời:
c]
[I] $\left\{\begin{matrix}x + 2y =0\\ 3x - 2y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ 3\times [-2y] - 2y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ -6y - 2y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ -8y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ y = \frac{-5}{8}\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x = \frac{5}{4}\\ y = \frac{-5}{8}\end{matrix}\right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x; y] = [$\frac{5}{4};\;\frac{-5}{8}$].
[II] $\left\{\begin{matrix}3x - 4y = 1\\ 6x - 8y = 3\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{4y}{3} + \frac{1}{3}\\ 0y + 2 = 3\end{matrix}\right.$ [sai]
Vậy hệ phương trình không có nghiệm.
[III] $\left\{\begin{matrix}3x + y = 4\\ 9x + 3y = 12\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = 4 - 3x\\ 9x + 3[4 - 3x] = 12 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = 4 - 3x\\ 12 = 12 \end{matrix}\right.$ [luôn đúng]
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm [x; y] = [$x \in R;\;y = 4 - 3x$].
C. Hoạt động luyện tập
Câu 1: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a] $\left\{\begin{matrix}3x - 2 y = 5\\ 5x + y = 4\end{matrix}\right.$
b] $\left\{\begin{matrix}2x - y = 8\\ x + 3y = 10\end{matrix}\right.$
c] $\left\{\begin{matrix}4x - 3y = 2\\ 3x - 4y = -2\end{matrix}\right.$
d] $\left\{\begin{matrix}2x + 5y = 13\\ 5x - 3y = -14\end{matrix}\right.$
Trả lời:
a] $\left\{\begin{matrix}3x - 2 y = 5\\ 5x + y = 4\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x - 2 [4 - 5x] = 5\\ y = 4 - 5x\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}13x - 8 = 5\\ y = 4 - 5x\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}13x = 13\\ y = 4 - 5x\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1\\ y = 4 - 5x\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1\\ y = -1\end{matrix}\right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $[x; y] = [1; -1]$.
b] $\left\{\begin{matrix}2x - y = 8\\ x + 3y = 10\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2[10 - 3y] - y = 8\\ x = 10 - 3y\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}20 - 7y = 8\\ x = 10 - 3y\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7y = 12\\ x = 10 - 3y\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \frac{12}{7}\\ x = 10 - 3y\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \frac{12}{7}\\ x = \frac{34}{7}\end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $[x; y] = [\frac{34}{7}; \frac{12}{7}]$
c] $\left\{\begin{matrix}4x - 3y = 2\\ 3x - 4y = -2\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2} + \frac{3y}{4}\\ 3[\frac{1}{2} + \frac{3y}{4}] - 4y = -2\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2} + \frac{3y}{4}\\ \frac{3}{2} - \frac{7y}{4}] = -2\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2} + \frac{3y}{4}\\ \frac{7y}{4}] = \frac{7}{2}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2} + \frac{3y}{4}\\ y = 2\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 2\\ y = 2\end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $[x; y] = [2; 2]$
d] $\left\{\begin{matrix}2x + 5y = 13\\ 5x - 3y = -14\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{2} - \frac{5y}{2}\\ 5[\frac{13}{2} - \frac{5y}{2}] - 3y = -14\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{2} - \frac{5y}{2}\\ \frac{65}{2} - \frac{31y}{2} = -14\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{2} - \frac{5y}{2}\\ \frac{31y}{2} = \frac{93}{2}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{2} - \frac{5y}{2}\\ y = 3\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -1\\ y = 3\end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $[x; y] = [-1; 3]$
Câu 2: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a] $\left\{\begin{matrix}x + 3y = 4\\ 4x - 5y = 18\end{matrix}\right.$
b] $\left\{\begin{matrix}5x - 3y = 5\\ 2x + 5y = 33\end{matrix}\right.$
c] $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0\\ 5x + y = 13\end{matrix}\right.$
d] $\left\{\begin{matrix}x + 2y = \frac{7}{6}\\ 4x + 6y = 4\end{matrix}\right.$
Trả lời:
a] $\left\{\begin{matrix}x + 3y = 4\\ 4x - 5y = 18\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4 - 3y \\ 4[3 - 3y] - 5y = 18\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4 - 3y \\ 17y = -2\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4 - 3y \\ y = \frac{-2}{17}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{74}{17}\\ y = \frac{-2}{17}\end{matrix}\right.$
b] $\left\{\begin{matrix}5x - 3y = 5\\ 2x + 5y = 33\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{3y}{5} + 1\\ 2[\frac{3y}{5} + 1] + 5y = 33\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{3y}{5} + 1\\ \frac{31y}{5} = 31\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{3y}{5} + 1\\ y = 5\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4\\ y = 5\end{matrix}\right.$
c] $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0\\ 5x + y = 13\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{2y}{3}\\ 5\times \frac{2y}{3} + y = 13\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{2y}{3}\\ \frac{13y}{3} = 13\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 2\\ y = 3\end{matrix}\right.$
d] $\left\{\begin{matrix}x + 2y = \frac{7}{6}\\ 4x + 6y = 4\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{7}{6} - 2y\\ 4[\frac{7}{6} - 2y] + 6y = 4\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{7}{6} - 2y\\ 2y = \frac{2}{3}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2}\\ y = \frac{1}{3}\end{matrix}\right.$
Câu 3: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Xác định các hệ số m, n, biết hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}mx + 2ny = 5\\ [m+1]x + [n + 5]y = 2\end{matrix}\right.$ có nghiệm x = 3; y = -1.
Trả lời:
Vì x = 3; y = -1 là nghiệm của hệ phương trình nên thay vào hệ phương trình ta được một hệ phương trình mới với hai ẩn là m, n như sau:
$\left\{\begin{matrix}3m - 2n = 5\\ 3m - n = 4\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3m - 2[3m - 4] = 5\\ n = 3m - 4\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3m = 3\\ n = 3m - 4\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m = 1\\ n = -1\end{matrix}\right.$.
Vậy [m, n] = [1; -1]
Câu 4: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng vô nhiệm hoặc cùng vô số nghiệm thì có tương đương với nhau không?
Trả lời:
Hệ hai phương trình bậc nhất vô nghiệm thì tương đương nhau vì cùng có tập nghiệm là tập rỗng.
Hệ hai phương trình bậc nhất có vô số nghiệm thì ta có thể biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia nên tập nghiệm của chúng chưa chắc đã giống nhau. Do đó, chúng không tương đương với nhau.
D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng
Câu 1: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Một hình chữ nhật có chu vi là 30 m. Nếu tăng cheiefu dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì được một hình vuông. Tính độ dài mỗi cnhj ban đầu.
Trả lời:
Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là x và y [m].
Ban đầu, chu vi của hình chữ nhật là 30 [m] nên ta có phương trình: $2[x + y] = 30 \Leftrightarrow x + y = 15$ [1].
Sau khi tăng chiều dài và chiều rộng thì ta được hình vuông nên: $x + 2 = y + 3 \Leftrightarrow x - y = 1$ [2].
Từ [1] và [2], ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x + y = 15\\ x - y = 1\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}[y + 1] + y = 15\\ x = y + 1\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y = 14\\ x = y + 1\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 7\\ x = 8\end{matrix}\right.$
Vậy, ban đầu hình chữ nhật có chiều dài là 8m, chiều rộng là 7m.
Câu 2: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2
Biết rằng một đa thức $P[x]$ chia hết cho đa thức $x - a$ khi và chỉ khi $P[a] = 0$. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho $x - 1$ và $x - 2$:
$P[x] = mx^3 - [m + 1]x^2 + nx + 2n + 4$
Trả lời:
Để $P[x]$ chia hết cho $x - 1$ thì $P[1] = 0$:
$\Rightarrow P[1] = m\times 1^3 - [m + 1]\times 1^2 + n\times 1 + 2n + 4 = 0 \Leftrightarrow 3n + 3 = 0 \Leftrightarrow n = -1$.
Để $P[x]$ chia hết cho $x - 2$ thì $P[2] = 0$:
$\Rightarrow P[2] = m\times 2^3 - [m + 1]\times 2^2 + n\times 2 + 2n + 4 = 0 \Leftrightarrow 4m - 4n = 0 \Leftrightarrow m - n = 0$.
Để $P[x]$ đồng thời chia hết cho $x - 1$ và $x - 2$ thì $\left\{\begin{matrix}n = -1\\ m - n = 0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n = -1\\ m = n = -1\end{matrix}\right.$