Phương trình tiếp tuyến là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 12. Có khá nhiều dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số như: PTTT tại một điểm, đi qua một điểm, khi biết hệ số góc,… Để làm tốt các dạng bài tập trên, chúng ta cùng nhau tìm hiểu 10 dạng toán phổ biến nhất để có thể chinh phục phần kiến thức này.
Cho hai hàm số f[x] và g[x] có đạo hàm tại điểm x0. Ta nói rằng hai đường cong [C]: y = f[x] và [C’]: y = g[x] tiếp xúc với nhau tại điểm M [x0; y0] nếu M là một tiếp điểm chung của chúng. → [C] và [C’] có tiếp tuyến chung tại M.
Điều kiện tiếp xúc:
Hai đường cong [C]: y = f[x] và [C’]: y = g[x] tiếp xúc với nhau ⇔ Hệ phương trình
Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
Cho hai đường cong [C]: y = f[x] và [C’]: y = g[x]. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc nhau là hệ phương trình
có nghiệm.
Nghiệm x = x0 của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai đường cong [C] và [C’] tiếp xúc với nhau tại bấy nhiêu điểm.
A. y = x + 1
B. y = -2x + 1
C. y = -x + 1
D. y = 2x + 1
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong [C]: y = f[x] và [C’]: y = g[x] là hệ phương trình
có nghiệm.
Ta có y’ = 3x2 + 1 > 0, ∀ x ∊ ℝ nên các phương án B, C bị loại.
Xét phương án A, y = x + 1. Ta có hệ
.
Vậy đường thẳng y = x + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.
Bài tập 2: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = -2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm sốA. {7; -1}
B. {-1}
C. {6}
D. {6; -1}
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đường thẳng y = -2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số H3 khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
Vậy m ∊ {-1; 7} thì đường thẳng d tiếp xúc với [C].
A.
B.
C.
D. -4
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Để [Cm] tiếp xúc với [P] thì hệ phương trình sau có nghiệm:
⇔
Giải [1], ta có [1] ⇔ [x – 1] [x2 – 4mx + 3m + 1] = 0
⇔
.
Với x = 1 thay vào [2] được m = 2
Xét hệ
.
Nếu
thì [4] vô nghiệm.
Nếu
thì [4] ⇔
Thay
vào [3] ta được
⇔
[thỏa mãn điều kiện].
Vậy
nên tổng các phần tử trong S bằng .
Bài tập 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm sốA. 10
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Xét hệ phương trình
Giải phương trình [2] ta được
.
Với x = m, thay vào [1] ta được
.
Với x = 2, thay vào [1], ta được
.
Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để dồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng y – 1 là
nên tổng các phần tử trong S bằng .
A. 4
B. 2
C. 6
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Vì [C] tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên x = 0 là nghiệm của hệ phương trình
Mặt khác [C] đi qua điểm A [1; 3] nên a + b + c + 1 = 3 ⇒ a = 2.
Vậy a + 2b + 3c = 2.
A. A[1; -8]
B. B[0; -2]
C. C[0; 2]
D. D[1; 8]
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y = mx2 – 2[m – 3] x + m – 2 = m[x2 – 2x + 1] + 6x – 2
⇔ y = m[x – 1]2 + 6x – 2.
Xét đường thẳng d: y = 6x – 2 thì hệ phương trình
luôn có nghiệm x = 1 với mọi x ≠ 0.
Vậy [Pm] luôn tiếp xúc với đường thẳng d: y = 6x – 2.
Đường thẳng d đi qua điểm B [0; -2].
Nhận xét: Nếu có thể viết lại hàm số [Pm] theo dạng y = [ax + b]2 + cx + d thì [Pm] luôn tiếp xúc với đường thẳng y = cx + d.
Thực hiện theo các bước sau
– Bước 1: Tính y’ = f’[x] và f’[x0].
– Bước 2: Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = f’[x0] [x – x0] + y0
– Bước 3: Thực hiện các yêu cầu còn lại của bài toán. Kết luận.
– Nếu bài toán chỉ cho x0 thì ta cần tìm y0 = f[x0] và f’[x0].
– Nếu bài toán chỉ cho y0 thì ta cần tìm x0 bằng cách giải phương trình f[x] = y0.
– Giá trị f’[x0] là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f[x] tại điểm M [x0; y0].
Bài tập 1: Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số [C]:A.
[đvdt]
B.
[đvdt]
C.
[đvdt]
D.
[đvdt]
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có M [2; 5] ∊ [C];
; y’ [2] = -3.
Phương trình tiếp tuyến tại M [2; 5] là d: y = -3x + 11.
Khi đó d cắt Ox, Oy tại
và B [0; 11] ⇒
Vậy
[đvdt]
Bài tập 2: Cho hàm sốA. 5
B. 4
C. -1
D. -2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 3x + y – 4 = 0 ⇔ y = -3x + 4 nên
.
Mặt khác A [1; -2] thuộc đồ thị hàm số
.
Khi đó ta có hệ
.
Với a = 2 ⇒ b = -1 ⇒ ab = -2 [loại]
Với a = 1 ⇒ b = 1 [thỏa mãn điều kiện].
Khi đó ta có hàm số
.
nên phương trình tiếp tuyến là y = -3x + 1 song song với đường thẳng y = -3x + 4
Vậy a – 3b = -2.
A. y = 6x + 2
B. y = 2x + 2
C. y = 1
D. y = 3x + 1
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có y’ = -3x2 – 6x + 3
Gọi M [x0; y0] thuộc đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M [x0; y0] là
.
⇒ kmax = 6 ⇔ x0 = -1 hay M [-1; -4].
Phương trình đường thẳng d là y = 6 [x + 1] – 4 ⇔ y = 6x + 2.
Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y =ax3 + bx2 + cx + d thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất [nhỏ nhất] là tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị U [x0; f[x0]], với x0 là nghiệm của phương trình y’’ = 0.
– Nếu a > 0 thì hệ số góc k = f’[x0] là nhỏ nhất.
– Nếu a < 0 thì hệ số góc k = f’[x0] là lớn nhất.
A. m = 2
B. m = 4
C. m = 0
D. không tồn tại m
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Có y’ = 3x2 – 4x + m – 1 ⇒ y’ [1] = m – 2.
Tiếp tuyến của [Cm] tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình là
y = [m – 2] [x – 1] + 3m – 2 ⇔ y = [m – 2] x + 2m
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 10 nên
[vô lí]
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. m ≤ -2
B. -2 < m < 1
C. m ≥ 2
D. m > 2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: f’[x] = 3x2 + 2mx + 1 ⇒ k = f’ [1] = 4 + 2m.
Do đó k. f [-1] = [4 + 2m] [m – 1]
Để k. f [-1] < 0 thì [4 + 2m] [m – 1] < 0 ⇔ -2 < m < 1.
A. -2 < m0 < -1
B. -1 < m0 < 0
C. 0 < m0 < 1
D. 1 < m0 < 2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A [1; 3] khi m = m0
Ta có y’ = 3x2 + 6mx + m + 1.
Với x0 = -1 thì y0 = 2m – 1 ⇒ B [-1; 2m – 1] và y’ [-1] = -5m + 4.
Tiếp tuyến tại B của [C] có phương trình là y = [-5m + 4] [x + 1] + 2m – 1.
Do tiếp tuyến đi qua A [1; 3] nên 2 [-5m + 4] + 2m – 1 = 3 ⇔
.
Vậy
.
Bài tập 7: Cho hàm sốA. y = -8
B. y = -64
C. y = -12
D. y = -9
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Giả sử
là một điểm thuộc [C].
Do d [M; Ox] = 2d [M; Oy] nên
.
Theo giả thiết thì M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên nên a = 4 ⇒ M [4; -8].
Khi đó
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8.
Bài tập 8: Cho hàm sốA. 4
B.
C. 2
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Tập xác định D = ℝ {-2}.
Ta có
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của [C] và [d]
[Với x ≠ -2]
⇒
Để đường thẳng [d] cắt đồ thị hàm số [C] tại hai điểm thì phương trình [1] phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.
⇔
Vậy [C] luôn cắt [d] tại hai điểm phân biệt A [x1; y1] và B [x2; y2], với x1, x2 là nghiệm của phương trình [1].
Theo định lý Vi-ét ta có
Ta có
=
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đường tròn [y]: x2 + [y – 1] = 4 có tâm I [0; 1], R = 2.
Ta có A [1; 1 – m]; y’ = 4x3 – 4mx ⇒ y’ [1] = 4 – 4m.
Suy ra phương trình tiếp tuyến ∆: y = [4 – 4m] [x – 1] + 1 – m.
Dễ thấy ∆ luôn đi qua điểm cố định
và điểm F nằm trong đường tròn [y].
Giả sử ∆ cắt [y] tại M, N, khi đó
.
Do đó MN nhỏ nhất ⇔ d [I; ∆] lớn nhất ⇔ d [I; ∆] = IF ⇒ ∆ ⊥ IF.
Khi đó đường thẳng ∆ có 1 vectơ chỉ phương
nên
Thực hiện theo một trong hai cách sau:
– Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến dựa vào giả thiết bài toán.
– Bước 2. Giải phương trình f’[x] = k để tìm x = xo là hoành độ của tiếp điểm.
Tính yo = f[xo] ⇒ M [xo; y0].
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = k [x – x0] + y0
Điểm M [x0; y0] là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho.
– Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến dựa vào giả thiết bài toán.
– Bước 2. Vì tiếp tuyến có hệ số góc là k nên phương trình tiếp tuyến có dạng y = kx + b. Dựa vào điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến với [C] ta tìm giá trị của b.
Lưu ý:
Phương trình f’[x] = k có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp điểm.
Một số trường hợp xác định hệ số góc của đường thẳng thường gặp.
Cho hai đường thẳng
d1: y = k1x + b1; d2: y = k2x + b2.
Trường hợp 1: d1 ⊥ d2 ⇔ k1. k2 = -1.
Trường hợp 2: d1 // d2 ⇔
.
Trường hợp 3: Góc [d1; d2] = ∝ ⇒
.
Nếu góc giữa d: y = kx + b với Ox bằng ⍺ [Oo < ∝ < 90o] thì |k| = tan ⍺.
Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OB = m. OA thì |k| = tan ⍺ =
.
Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A [x1; y1] và B [x2; y2] thì
.
A. y = 3, y = -1
B. y = 3, y = -2
C. x = 3, x = -1
D. y = 2, y = -1
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình y = y0 với y0 là giá trị cực trị của hàm số đã cho.
Ta có y’ = 3x2 – 3; y’ = 0 ⇔ x = ±1.
Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là A [1; -1], và B [-1; 3].
Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là y = -1; y = 3.
Bài tập 2: Cho hàm sốA.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OA = 4OB.
Khi đó ∆OAB vuông tại O và ta có
.
Ta có
Xét phương trình
[vô nghiệm].
Xét phương trình
.
Với x = 3 thì
. Phương trình tiếp tuyến là
.
Với x = -1 thì
. Phương trình tiếp tuyến là
.
Bài tập 3: Đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm sốA. y = x + 2
B. y = x – 2
C. y = -x + 2
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến lần lượt với Ox, Oy.
Vì ∆OAB vuông cân tại O nên OA = OB.
Do đó
.
Ta có
.
Xét phương trình
[vô nghiệm].
Xét phương trình
.
Với x = -1 thì y = 1. Phương trình tiếp tuyến là y = [x + 1] + 1 = x + 2.
Với x = -3 thì y = 3. Phương trình tiếp tuyến là y = [x + 3] + 3 = x + 6.
Bài tập 4: Cho hàm sốA. m < 12 hoặc
B. m < 0 hoặc m > 1
C. m < 0 hoặc
D. m < 0 hoặc
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: d: x + 2y – 3 = 0 ⇔
nên hệ số góc của d là
Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k thì
.
Gọi M [x0; y0] là tiếp điểm của tiếp tuyến với [Cm] thì x0 là nghệm của phương trình
y’ = k ⇔ mx2 + 2 [m – 1] x + 4 – 3m = 2.
⇔ mx2 + 2 [m – 1] x + 2 – 3m= 0 [*]
Theo bài toán thì ta phải tìm m để [*] có duy nhất một nghiệm âm.
Trường hợp 1: Nếu m = 0 thì [*] ⇔ –2x = -2 ⇔ x = 1 [loại].
Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0. Ta thấy phương trình [*] có hai nghiệm x = 1 và
.
Do đó để [*] có một nghiệm âm thì
⇔ m < 0 hoặc .
A. 13
B. -2
C. -5
D. 10
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: d: x – 2y + 3 = 0 ⇔
nên
Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên phải có hệ số góc bằng -2.
Ta có y’ = 4ax3 + 2bx = 2x [2ax2 + b]
Vì điểm A [-1; 1] là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị nên x = -1 là nghiệm của phương trình
2x [2ax2 + b] = -2 ⇒ -2 [2a + b] = -2 ⇔ 2a + b = 1.
Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số nên a + b + 2 = 1 ⇔ a + b = -1.
Vậy ta có hệ
.
Bài tập 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1 có đồ thị là [C]. Số tiếp tuyến của [C] tạo với đường thẳng d: y = -x + 1 một góc ⍺ thỏa mãnA. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.
Ta có
.
Vì d có hệ số góc bằng -1 nên
.
Ta có y’ = 3x2 – 6x – 9.
Trường hợp 1: k = – 9 ⇔ x2 – 2x = 0 ⇔
.
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến y = -9x + 1 và y = -9x – 3.
Trường hợp 2:
.
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm.
Bài tập 7: Cho hàm sốA. 0
B. 2
C. 3
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Do tiếp tuyến đi qua hai điểm M [x1; y1]; N [x2; y2] nên hệ số góc của tiếp tuyến là
.
Ta có
.
Xét phương trình
.
Mặt khác để tiếp tuyến của hàm số trùng phương cắt đực đồ thị tại hai điểm phân biệt thì tiếp điểm A chỉ có thể chạy trong phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ nhất sang điểm cực tiểu thứ hai [trừ hai điểm uốn].
Khi đó phương trình y’ = 0 ⇔ x3 – 7x = 0 ⇔
.
Do đó hai điểm cực tiểu là
và
Vậy chỉ có x0 = -1; x0 = -2 thỏa mãn.
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Với hàm số
[với c ≠ 0; ad – cd ≠ 0] thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận là
Gọi
là giao điểm của hai đường tiệm cận [và cũng là tâm đối xứng của đồ thị].
Khi đó tiếp tuyến tại điểm M [x0; y0] bất kì của đồ thị tiệm cận đứng tại điểm
và cắt tiệm cận ngang tại điểm
Ta có
⇒
là hằng số không đổi.
Suy ra
.
Khi đó các bài toán sau là tương đương:
Tìm điểm M ∊ [C] hoặc viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông có
Cạnh huyền nhỏ nhất
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB.
Chu vi nhỏ nhất
Ta có
Dấu bằng xảy ra IA = IB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất
Ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB.
Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất
Ta có
Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằng
.
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB.
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB.
Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy ra khi IA = IB nên ∆IAB vuông cân tại I.
Gọi ⍺ là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆2 thì ⍺ = [d; ∆2] = [d; Ox] = 450 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±tan 450 = ±1.
Bài tập 1: Cho hàm sốA. Không tồn tại cặp điểm đó
B. Vô số số cặp điểm
C. 2
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Giả sử
với a ≠ b; a, b ≠ 1.
Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên y’[a] = y’[b] ⇔
Do a ≠ b nên chỉ có a + b = 2. Vậy có vô số cặp điểm A, B thỏa mãn.
Nhận xét: Hai điểm A, B phân biệt thuộc đồ thị hàm số
mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau thì A, B đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I.
Bài tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm sốA. 6
B. 7
C. 5
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi M [x0; y0] là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị. Khi đó tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B và I là giao điểm của hai tiệm cận.
Theo lý thuyết đã nếu thì
.
Bài tập 3: Cho hàm sốA. 2
B. 4
C. 8
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do ∆IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IAB là
.
Theo lý thuyết, ta có
.
Dấu “=” xảy ra khi IA = IB. Khi đó hệ số góc tiếp tuyến k = ±1.
Mặt khác
.
Ta có
. Do a > 0 ⇒ a = 2 ⇒ b = 3. Vậy a + 2b = 8.
Bài tập 4: Gọi [C] là đồ thị hàm sốA. -11
B. 8
C. 3
D. -8
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai tiệm cận.
Theo lý thuyết, ta có
Vậy ta có
⇒ S = {-5; -3} nên tổng các phần tử của S bằng -8.
Bài tập 5: Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M [x0; y0], x0 0 là điểm thuộc [C], biết tiếp tuyến của [C] tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho S∆OIB = 8 S∆OIA [I là giao hai đường tiệm cận]. Giá trị biểu thức S = x0 – 4y0 bằngA.
B. -2
C. 2
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Do góc
nên
Mà
nên
Mặt khác
.
⇔
.
Do x0 > 0 nên x0 = 3 ⇒
.
Bài tập 10: Cho hàm sốA.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
Giả sử M [x0; y0] ∊ [C] thì
.
Xét phương trình
.
Với x0 = 0 thì
. Phương trình tiếp tuyến là
Với x0 = 4 thì
. Phương trình tiếp tuyến là
Thực hiện một trog hai cách sau
– Bước 1. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng y = k [x – x0] + y0.
– Bước 2. Tìm k là nghiệm của hệ phương trình
Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến.
– Bước 1. Giả sử A [a; f[a]] là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho nên phương trình tiếp tuyến tại điểm A là y = f’[a] [x – a] + f[a].
– Bước 2. Do tiếp tuyến đi qua M [x0; y0] nên a là nghiệm của phương trình f’[a] [x – a] + f[a] = y0.
Tìm a và suy ra phương trình tiếp tuyến.
Bài tập 1: Cho đồ thị hàm số [C]:A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có
.
Gọi tọa độ tiếp điểm là
với x0 ≠ 2. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M là
Do tiếp tuyến đi qua hai điểm A [2; -1] nên ta có phương trình
[vô nghiệm].
Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số
thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua điểm
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
và có hệ số góc k có dạng
Để ∆ tiếp xúc với [C] thì hệ phương trình
có nghiệm x.
Thế [2] vào [1], ta có
.
⇔
.
Với
.
Với
.
Với
.
Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn.
Thực hiện theo các bước sau
– Bước 1. Xây dựng tọa độ điểm M [a; b].
– Bước 2. Giả sử d là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k. Khi đó phương trình đường thẳng
d: y = k [x – a] + b.
– Bước 3. Để d là tiếp tuyến của [C] thì hệ phương trình [*]
có nghiệm.
Dựa vào số nghiệm của hệ trên suy ra số tiếp tuyến tương ứng bài toán yêu cầu.
– Nếu f[x] là hàm số bậc 2, bậc 3, bậc nhất trên bậc nhất thì hệ [*] có bao nhiêu nghiệm thì tương ứng với bấy nhiêu tiếp tuyến.
– Nếu f[x] là hàm số trùng phương có 3 điểm cực trị thì nếu hệ [*] có nghiệm không phải là hoành độ của 2 điểm cực tiểu [cực đại] thì mỗi nghiệm ứng với một tiếp tuyến của đồ thị [C].
Tổng các phần tử của S bằng
A.
B.
C. 4
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi d là đường thẳng đi qua M [m; 2] và có hệ số góc k.
Khi đó phương trình của d là y = k [x – m] + 2.
phải có nghiệm phân biệt.
Từ hệ trên, ta có -x3 + 6x2 + 2 = [-3x2 + 12x] [x – m] + 2
⇔
Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau
Trường hợp 1: Phương trình [*] có nghiệm kép khác 0
⇔
.
Trường hợp 2: Phương trình [*] có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0
⇔
.
Vậy
nên tổng các phần tử bằng .
Bài tập 2: Cho hàm sốA. 3
B. 2
C. 1
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có hàm số y=
xác định trên ℝ,
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆ đi qua A [1; a].
Phương trình đường thẳng ∆: y = k [x – 1] + a.
Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đồ thị [C] khi hệ phương trình sau có nghiệm
Thay [2] vào [1] ta được
⇔
⇔
.
Qua A có đúng hai tiếp tuyến của [C] khi và chỉ khi phương trình [3] có hại nghiệm phân biệt.
Xét hàm số
.
Ta có
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có [3] có hai nghiệm phân biệt thì
. Mà a nguyên nên a = 1.
Từ biểu thức của hàm ẩn, tìm các tính các giá trị y0 = f[x0] và f’[x0].
Áp dụng công thức viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f[x] tại điểm có hoành độ x = x0.
Chú ý công thức đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số f[x] có đạo hàm trên khoảng K, u = u[x] là hàm số xác định và có đạo hàm trên K và có giá trị trên khoảng K. Khi đó [f[u]]’ = u’. f’[u].
A. y = 2x + 2
B. y = 4x – 6
C. y = 2x – 6
D. y = 4x – 2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta cần tính f [1], f’ [1].
Từ giả thiết 2 f [2x] + f [1 – 2x] = 12x2, ∀x ∊ ℝ. [*]
Chọn x = 0 và
, ta được
Lấy đạo hàm hai vế [*] ta được 4. f’[2x] – 2. F’ [1 – 2x] = 24x, ∀x ∊ ℝ
Chọn x = 0 và
, ta được
Vậy f [1] = 2; f’ [1] = 4 nên phương trình tiếp tuyến là y = 4 [x – 1] + 2 = 4x – 2.
A. y = 24x – 23
B. y = 10x – 21
C. y = -12x + 49
D. y = 2x – 5
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Để giải bài toán, ta cần tính h’ [2] và h [2].
Phương trình tiếp tuyến của [C1] tại A là
y = f’ [2]. [x – 2] + f [2] = 3x + 4 ⇒
.
Phương trình tiếp tuyến của [C2] tại B là
y = f’ [2]. f’ [f [2] [x – 2] + f [f [2]] = f’ [2]. f’ [10] [x – 2] + f [10] = 6x + 13.
⇒
.
Ta có h’ [x] = [f [x3 + 2]]’ = 3x2. f’ [x3 + 2] nên h’ [2] = 12 f’ [10] = 24 và h [2] = f [10] = 25.
Phương trình tiếp tuyến của [C3] tại C là
y = h’ [2] [x – 2] + h [2] = 24 [x – 2] + 25 = 24x – 23.
Bài tập 3: Cho hàm số y = f[x] xác định có đạo hàm và nhận giá trị dương trên ℝ. Biết tiếp tuyến của hai đồ thị hàm số y = f[x] và y = g[x]=A. 3
B. 4
C. 6
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có
Từ giả thiết ta có f’ [1] = 12 và g’ [1] = -2, f[x] > 0, ∀x ∊ ℝ
⇒
.
A.
B. |f [1] | < 2
C. |f [1] | ≥ 2
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có g’[x] = [x2. f [4x – 3]]’ = 2x. f [4x – 3] + 4x2. f’ [4x – 3].
Ta có hệ số góc của các tiếp tuyến ∆1, ∆2 lần lượt là f’ [1] và g’ [1] = 2 f [1] + 4 f’ [1].
Theo giả thiết thì f’ [1]. g’ [1] = -1 và f’ [1] ≠ 0.
⇔ f’ [1]. [2 f [1] + 4 f’ [1]] = -1
⇔
.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x = -3, ta cần tính f [-3] và f’ [-3].
Với x = -1 suy ra f [-3] = -3.
Do f [x3 + 3x + 1] = 2x – 1 ⇒ [3x2 + 3] f’ [x3 + 3x + 1] = 2.
Với x = -1 ⇒ 6 f’ [-3] = 2 ⇒
.
Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y = f’ [-3] [x + 3] + f [-3] ⇔
.
A. y = -x + 2
B. y = -3x – 2
C. y = -x – 1
D. y = -3x + 4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta cần tính h [1], h’ [1].
Ta có g’ [x] = 2xf’ [x2], h’ [x] = 3x2f’ [x3].
Theo giả thiết, ta có f’ [1] + g’ [1] = -3 ⇔ f’ [1] + 2f’ [1] = -3 ⇔ f’ [1] = -1.
Do đó h’ [1] = 3 f’ [1] = -3 và h [1] = f [1] = 1.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3 [x – 1] + 1 = -3x + 4.
A. y =-x
B. y = 2x – 3
C. y = -2x +3
D. y = x
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có f3 [2 – x] – 2 f2 [2 + 3x] + x2 g[x] + 36x = 0, ∀x ∊ ℝ [1]
Thay x = 0 vào [1] ta có
Lấy đạo hàm hai vế của [1] ta được
-3f2 [2 – x]. f’ [2 – x] – 12f [2 + 3x]. f’ [2 + 3x] + 2x. g[x] + x2. g’ [x] + 26 = 0 [2].
Thay x = 0 vào [2] ta có -3f2 [2]. f’ [2] – 12f [2]. f’ [2] + 36 = 0 [3].
Với f [2] = 0 thay vào 3 thì 36 = 0 [vô lý].
Với f [2] = 2 thay vào [3] thì f’ [2] = 1 nên phương trình tiếp tuyến là y = x.
A. y = -x + 2
B. y = x
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta cần tính f [1], f’ [1].
Thay x = 1 vào đẳng thức [f[x]]3 + 6f[x] = -3x + 10, ta có
[f [1]]3 + 6f [1] = -3x + 10 ⇔ [f [1]]3 + 6f [1] – 7 = 0 ⇔ f [1] = 1.Theo bài ra ta có [f[x]]3 + 6f[x] = -3x + 10 đúng với mọi x nên đạo hàm hai vế ta được
3.[f[x]]2. f’ [x] + 6f’ [x] = -3, ∀x ∊ ℝ.
Thay x = 1 vào ta có 3. [f [1]]2. f’ [1] + 6f’ [1] = -3.
Vì f [1] = 1 nên
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
.
.
Giả sử hai điểm A [xA; f [xA]], B [xB; f [xB]] [xA ≠ xB] thuộc đồ thị hàm số y = f[x] mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau hoặc có cùng hệ số góc k thì xA, xB là hai nghiệm của phương trình f’ [x] = k.
Khi đó ta có biểu thức liên hệ giữa xA, xB. Từ đó giải quyết yêu cầu bài toán đưa ra.
Đối với hàm số
có tâm đối xứng là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có
. Do tiếp tuyến của [H] tại A, B song song với nhau nên
Vì x1 ≠ x2 nên x1 + x2 = 1.
Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử
thì
Gọi
là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Ta thấy
nên I là trung điểm của AB.
Ta có
Vì I là trung điểm của AB nên
.
Vậy
.
Bài tập 2: Cho hàm sốA. k < -9
B. -9 ≤ k < -6
C. -6 ≤ k < -3
D. -3 ≤ k < 0
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
Tiếp tuyến tại A, B của [H] có cùng hệ số góc k nên x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình
.
Suy ra 4kx2 – 4kx + k + 3 = 0 [*] nên
.
Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử
thì
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC nếu có
thì
Ta có
.
⇒
.
⇔
[vì a > 0].
Với a = 3 ⇒ x1 = 2; x2 = -1 ⇒
.
Với a = 1 ⇒ x1 = 1; x2 = 0 ⇒ k = -3.
Vậy giá trị của k là k = -3;
.
Bài tập 3: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị [C]. Gọi A [xA; yA], B [xB; yB] với xA > xB là các điểm thuộc [C] sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau vàA. 15
B. 90
C. -15
D. -90
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có y’ = 3x2 – 3.
Do tiếp tuyến của [C] tại A, B song song với nhau nên y’ [xA] = y’ [xB]
⇔ 3x2A – 3 = 3x2B – 3 ⇔ xA + xB = 0 [do xA > xB].
Giả sử A [a; a3 – 3a + 1], B [-a; -a3 + 3a + 1] với a > 0 thuộc [C].
Khi đó
⇔ 4a6 – 24a4 + 40a2 – 1332 = 0 ⇔ a2 = 9 ⇒ a = 3 [vì a > 0]
⇒ xA = 3; xB = -2 nên 2xA – 3xB = 15.
Bài tập 4: Cho hàm sốA.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có
. Gọi A [x1; y1], B [x2; y2].
Khi đó y’ [x1] = y’ [x2] ⇔ [x1 – 1]2 = [x2 – 1]2 ⇔ x1 + x2 = 2.
Do đó tâm đối xứng I [1; 1] của [C] là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k.
Phương trình đường thẳng AB là y = k [x – 1] + 1.
Điều kiện để đường thẳng d: y = k [x – 1] + 1 cắt [C] tại hai điểm phân biệt A, B là phương rình
có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1.
Ta có [*] ⇔ kx2 – 2kx + k – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 khi và chỉ khi
Vì M, N là giao điểm của AB với Ox, Oy nên
.
Suy ra
Ta có
Với
.
Với
.
Vậy trong cả hai trường hợp thì MN =
.
Bài tập 1: Gọi A là điểm thuộc đồ thị [C] của hàm số y = x4 – 3x2 + 2 và có hoành độ a. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của [C] tại A cắt [C] tại hai điểm phân biệt B, C khác A?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có
y’’ = 12x2 – 6; y’’ = 0 ⇔
.
Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm thỏa mãn
.
Vậy có ba giá trị nguyên của a thỏa mãn.
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c mà đồ thị có ba điểm cực trị [khi ab < 0] thì tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ nằm giữa hai điểm cực tiểu [cực đại], trừ điểm uốn luôn cắt đồ thị tại hai điểm khác nữa.
Bài tập 2: Gọi A là điểm thuộc đồ thị [C] của hàm số y = x4 – 3x2 + 2 và có hoành độ a. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của [C] tại A cắt [C] tại hai điểm phân biệt B, C khác A và diện tích tam giác OBC bằngA. 1
B. 3
C. 2
D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
.
y’’ = 12x2 – 6; y’’= 0 ⇔
.
Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm nữa thì
.
Với a = -1 ⇒ A [-1; 0]. Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = 2 [x + 1].
Xét phương trình
nên B [0; 2], C [2; 6] ⇒ S∆OBC = 2 [loại].
Với a = 0 ⇒ A [0; 2]. Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = 2 nên
[thỏa mãn].
Với a = 1 ⇒ A [1; 0]. Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = -2 [x – 1] nên B [0; 2], C [-2; 6] ⇒ S∆OBC = 2 [loại].
Vậy a = 0.
Bài tập 3: Cho hàm số
có đồ thị [C]. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho tiếp tuyến của [C] tại điểm có hoành độ x = m – 2 cắt tiệm cận đứng tại A [x1; y1], cắt tiệm cận ngang tại B [x2; y2] thỏa mãn x2 + y1 = -5. Tổng giá trị các phần tử của S bằng
A. 4
B. -2
C. -4
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đồ thị [C] có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x = -2 và y = 1.
Ta có
.
Gọi
, tiếp tuyến của [C] tại M có phương trình là
Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là
và tiệm cận ngang là B [2m – 2; 1].
Theo gia thiết ta có
.
Vậy m1 + m2 = -2.
Bài tập 4: Cho hàm sốA. 16
B. 32
C. 8
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Theo tính chất của tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất thì IM. IN = IP. IQ = 8.
Ta có
.
=
.
Vậy
tức là MNPQ là hình vuông.
Bài tập 5: Cho hàm sốA. 27
B. 28
C. 26
D. 25
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Giả sử M [a; b] là tiếp điểm. Ta có y’ = 2x3 – 3x2 – 12x.
Tiếp tuyến của [C] tại M song song hoặc trùng với đường thẳng d: y = mx nên a là nghiệm của phương trình 2x3 – 3x2 – 12x = m [*].
Để có ít nhất hai tiếp tuyến của [C] song song hoặc trùng với đường thẳng d thì phương trình [*] có ít nhất hai nghiệm.
Xét f[x] = 2x3 – 3x2 – 12x có y’ = 6x2 – 6x – 12; y’ = 0 ⇔
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để phương trình [*] có ít nhất hai nghiệm thì -20 ≤ m ≤ 7.
Mà m ∊ ℤ nên m ∊ {-20, -19, …, 6, 7}.
Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Do IA = IB nên k1. k2 = 1.
Ta có
⇔
⇔
⇔
.
Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số
có tâm đối xứng là I. Cho A, B là hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số thỏa mãn IA = IB.
Gọi k1, k2 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại A, B.
Ta có
.