Giải đề thi toán đại học khối b năm 2009 năm 2024

Nội dung Text: Đề thi và đáp án Toán khối B năm 2009

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Môn thi: Toán [khối B] [Thời gian làm bài: 180 phút] PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH [7,0 điểm] Câu I [2 điểm] Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 [1] 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1]. 2. Với các giá trị nào của m, phương trình x 2 x 2  2  m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? Câu II [2 điểm] 1. Giải phương trình sin x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2[cos 4x  sin 3 x] xy  x  1  7y 2. Giải hệ phương trình  2 2 2 [x, y  ] x y  xy  1  13y Câu III [1 điểm] 3 3  ln x Tính tích phân I   2 dx 1 [x  1] Câu IV [1 điểm] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng [ABC] bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng [ABC] trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Câu V [1 điểm] Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn [x + y]3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3[x4 + y4 + x2 y2] – 2[x2 + y2] + 1 PHẦN RIÊNG [3 điểm] Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần [phần A hoặc B] A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a. [2 điểm] 4 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn [C] : [x  2]2  y 2  và hai đường 5 thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn [C1]; biết đường tròn [C1] tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2 và tâm K thuộc đường tròn [C] 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A[1;2;1], B[- 2;1;3], C[2;-1;1] và D[0;3;1]. Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến [P] bằng khoảng cách từ D đến [P]
Câu VII.a [1 điểm] Tìm số phức z thoả mãn : z  [2  i]  10 và z.z  25 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b [2 điểm] 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A[-1;4] và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng [P]: x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A[-3;0;1], B[1;-1;3]. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với [P], hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Câu VII.b [1 điểm] x 2 1 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y  tại x 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4. BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I. [C] 4 2 y 1. y = 2x – 4x . TXĐ : D = R 3 y’ = 8x – 8x; y’ = 0  x = 0  x = 1; lim   x  x  1 0 1 + y'  0 + 0  0 +  2 1 0 1 2 y + 0 + 2 CĐ 2 x CT CT 2 y đồng biến trên [-1; 0]; [1; +] y nghịch biến trên [-; -1]; [0; 1] y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0 y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = 1 Giao điểm của đồ thị với trục tung là [0; 0] y Giao điểm của đồ thị với trục hoành là [0; 0]; [ 2 ;0] [C’] 2. x2x2 – 2 = m  2x2x2 – 2 = 2m [*] 2 [*] là phương trình hoành độ giao điểm của [C’] : y = 2x2x2 – 2 và [d]: y = 2m Ta có [C’]  [C]; nếu x  - 2 hay x  2  2 1 1 2 [C’] đối xứng với [C] qua trục hoành nếu - 2 < x < 2 0 x Theo đồ thị ta thấy ycbt  0 < 2m < 2  0
Câu II. 1. sinx+cosxsin2x+ 3 cos 3x  2[cos 4x  s i n 3 x] 3 1 3sin x  sin 3x  sin x  sin 3x  3 cos3x  2 cos 4x  2 2 2  sin 3x  3 cos 3x  2cos 4x 1 3  sin 3x  cos3x  cos 4x 2 2    sin sin 3x  cos cos 3x  cos 4x 6 6    cos 4x  cos  3x    6      4x   6  3x  k2   x   6  k2      4x   3x  k2  x    k 2   6   42 7 2. xyy x xy1  17y 13y x2 2   2 y = 0 hệ vô nghiệm  x 1  x  7  y y y  0 hệ   2 x 1  x   2  13   y y 1 x 1 x 1 Đặt a = x  ; b =  a 2  x 2  2  2  x 2  2  a 2  2b y y y y y Ta có hệ là ab7  a 2  b  13 ab7  2 a  a  20  0   1  1 x  y  4  x  y  5   a  4 hay a  5 . Vậy  b3 b  12  x  3  hay  x   12 y  y  x  1   x  3y x  12y  x 2  4x  3  0 hay x 2  5x  12  0 [VN]     3 x3   y  1 hay y  1 Câu III : 3 3 3 3  ln x dx ln x I 2 dx  3 2  2 dx 1 [x  1] 1 [x  1] 1 [x  1] 3 3 dx 3 3 I1  3 2   1 [x  1] [x  1] 1 4 3 ln x I2   dx 1 [x  1]2 dx Đặt u = lnx  du  x
dx 1 dv  2 . Chọn v  [x  1] x 1 3 3 3 3 ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3 I2         ln x  1 1 1 x[x  1] 4 1 x 1 x 1 4 2 3 Vậy : I  [1  ln 3]  ln 2 4 Câu IV. a BH 2 1 a 3a a 3 C N A BH= ,   BN  3  ; B ' H  2 BN 3 2 2 4 2 goïi CA= x, BA=2x, BC  x 3 CA2 H BA2  BC 2  2 BN 2  2 2 M  3a  x 2 9a 2  3x 2  4 x 2  2     x2   4  2 52 3 a 3 Ta có: B ' H  BB '  B 2 2 2 3 11 2  a 3 1 9a a 3 9 a V= x 3   3 2   2 12 52 2 208 Câu V : [x  y]3  4xy  2   2  [x  y]3  [x  y]2  2  0  x  y  1 [x  y]  4xy  0  2 2 [x  y]2 1 1 x y   dấu “=” xảy ra khi : x  y  2 2 2 2 2 2 [x  y ] Ta có : x 2 y 2  4 A  3  x  y  x y   2[x 2  y 2 ]  1  3 [x 2  y 2 ] 2  x 2 y 2   2[x 2  y 2 ]  1 4 4 2 2    [x 2  y 2 ] 2   3 [x 2  y 2 ]2  2 2   2[x  y ]  1  4  9  [x 2  y 2 ] 2  2[x 2  y 2 ]  1 4 1 Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 2 9 1 f [t]  t 2  2t  1, t  4 2 9 1 f '[t]  t  2  0  t  2 2 1 9  f [t]  f [ ]  2 16 9 1 Vậy : A min  khi x  y  16 2
Câu VIa. xy x  7y 1. Phương trình 2 phân giác [1, 2] :  2 5 2  5[x  y]   [x  7y]  y  2x :d1 5[x  y]  x  7y   1  5[x  y]  x  7y  y  x : d2  2 4 Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và [C] : [x – 2]2 + [– 2x]2 = 5 25x2 – 20x + 16 = 0 [vô nghiệm] 2 x 4 Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và [C] : [x – 2]2 +    2 5 8 8 4  25x 2  80x  64  0  x = . Vậy K  ;  5 5 5 2 2 R = d [K, 1] = 5     2. TH1 : [P] // CD. Ta có : AB  [3; 1; 2], CD  [2; 4; 0]    [P] có PVT n  [8; 4; 14] hay n  [4; 2;7] [P] :4[x  1]  2[y  2]  7[z  1]  0  4x  2y  7z  15  0 TH2 : [P] qua I [1;1;1] là trung điểm CD   Ta có AB  [ 3; 1; 2], AI  [0; 1;0]   [P] có PVT n  [2;0;3] [P] :2[x  1]  3[z  1]  0  2x  3z  5  0 Câu VIb. 1. 1  4  4 9 AH   2 2 1 36 36 S AH.BC  18  BC   4 2 2 AH 9 2 Pt AH : 1[x + 1] + 1[y – 4] = 0 x  y  4 7 1 H:  H ;  x  y  3  2 2 B[m;m – 4] 2 2 BC 2  7  1  HB2   8  m    m  4   4  2  2  7 11  7 2 m  2  2  2  m    4   2 m  7  2  3   2 2
 11 3   3 5  3 5  11 3  Vậy B1  ;   C1  ;   hay B2  ;    C 2  ;   2 2 2 2 2 2  2 2   2. AB  [4; 1; 2]; n P  [1; 2;2] Pt mặt phẳng [Q] qua A và // [P] : 1[x + 3] – 2[y – 0] + 2[z – 1] = 0  x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi  là đường thẳng bất kỳ qua A Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng [Q]. Ta có : d[B, ]  BH; d [B, ] đạt min   qua A và H. x  1  t  Pt tham số BH:  y  1  2t  z  3  2t  Tọa độ H = BH  [Q] thỏa hệ phương trình :  x  1  t, y  1  2t, z  3  2t 10  1 11 7   t  H ; ;   x  2y  2z  1  0 9  9 9 9   1   qua A [-3; 0;1] và có 1 VTCP a   AH   26;11; 2  9 x  3 y  0 z 1 Pt [] :   26 11 2 Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y  R thì z – 2 – i = x – 2 + [y – 1]i z – [2 + i]= 10 và z.z  25  2 2  4x  2y  20  [x  2]  [y  1]  10  2 2 2  x  y  25 x  y 2  25  2  y  10  2x x  8x  15  0   x  3 hay x  5 y4 y0  Vậy z = 3 + 4i hay z = 5 Câu VII.b. x2  1 Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là : x  m  x  2x2 – mx – 1 = 0 [*] [vì x = 0 không là nghiệm của [*]] Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt  0 Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B AB = 4  [xB – xA]2 + [[-xB + m] – [-xA + m]]2 = 16  2[xB – xA]2 = 16  m2  8   [xB – xA]2 = 8   2   8  m  24  m = 2 6  4  ----- Người giải đề: TRẦN MINH THỊNH - TRẦN VĂN TOÀN [Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn, TP.HCM]