Đề bài
I. TRẮC NGHIỆM [6 ĐIỂM]
Câu 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. \[f\left[ x \right] = 1 + \tan x\] B. \[f\left[ x \right] = {x^2} + \cos \left[ {3x} \right]\]
C. \[f\left[ x \right] = {x^2}\sin \left[ {2x} \right]\] D. \[f\left[ x \right] = - \cot x\]
Câu 2: Hàm số nào sau đây có tập xác định là \[\mathbb{R}\]?
A. \[y = \sin \sqrt x \] B. \[y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}}\]
C. \[y = {\tan ^2}x\] D. \[y = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}\]
Câu 3: Tìm \[a\] để phương trình \[\left[ {a - 1} \right]\cos x = 1\] có nghiệm.
A. \[0 \le a \le 2,\,\,a \ne 1\] B. \[\left[ \begin{array}{l}a \le 0\\a \ge 2\end{array} \right.\]
C. \[a \ge 2\] D. \[a \le 0\]
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, I là trung điểm của SC, giao điểm của AI và [SBD] là:
A. Điểm K [với O là trung điểm của BD và \[K = SO \cap AI\]]
B. Điểm M [với \[O = AC \cap BD;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M = SO \cap AI\]]
C. Điểm N [với \[O = AC \cap BD;\] N là trung điểm SO]
D. Điểm I.
Câu 5: Nghiệm của phương trình \[\sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{6}} \right] = \dfrac{1}{2}\] là:
A. \[\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
B. \[\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
C. \[\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
D. \[\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \[\tan x = - 1\] là:
A. \[\dfrac{\pi }{4}\] B. \[\dfrac{{7\pi }}{4}\]
C. \[\dfrac{{3\pi }}{4}\] D. \[ - \dfrac{\pi }{4}\]
Câu 7: Khẳng định nào sau đây sai?
A. \[y = \cot x\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\].
B. \[y = \sin x\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\].
C. \[y = - \cos x\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]\].
D. \[y = - tanx\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]\].
Câu 8: Nghiệm của phương trình \[\sin 2x - \sqrt 3 \sin x = 0\] là:
A. \[\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
B. \[\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
C. \[\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
D. \[\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Câu 9: Gọi \[a\] là nghiệm của phương trình \[2{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0\] trên khoảng \[\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\]. Tính \[\cos 2a\].
A. \[ - \dfrac{1}{2}\] B. \[\dfrac{\pi }{3}\] C. \[\dfrac{1}{2}\] D. \[ - \dfrac{\pi }{3}\]
Câu 10: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho \[\vec v\left[ {3;3} \right]\] và đường tròn \[\left[ C \right]:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} = 9\]. Tìm phương trình đường tròn \[\left[ {C'} \right]\] là ảnh của \[\left[ C \right]\] qua phép tịnh tiến \[{T_{\vec v}}.\]
A. \[[C']:{\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 9\]
B. \[[C']:{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} = 9\]
C. \[[C']:{\left[ {x + 4} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} =9\]
D. \[[C']:{\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} =3.\]
Câu 11: Nghiệm của phương trình \[\sin x.\cos x.\left[ {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right] = 0\] là:
A. \[x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\] B. \[x = k\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
C. \[x = \dfrac{{k\pi }}{8}\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\] D. \[x = \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Câu 12: Cho các mệnh đề sai:
[1] Hàm số \[y = \sin x\] và \[y = \cos x\] cùng đồng biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\].
[2] Đồ thị hàm số \[y = 2019\sin x + 10\cos x\] cắt trục hoành tại vô số điểm.
[3] Đồ thị hàm số \[y = \tan x\] và \[y = \cot x\] trên khoảng \[\left[ {0;\pi } \right]\] chỉ có một điểm chung.
[4] Với \[ \in \left[ {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\] các hàm số \[y = \tan \left[ {\pi - x} \right]\], \[y = \cot \left[ {\pi - x} \right]\], \[y = \sin \left[ {\pi - x} \right]\] đều nhận giá trị âm.
Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là:
A. \[0\] B. \[2\] C. \[3\] D. \[1\]
Câu 13: Hàm số nào sau đây toàn hoàn với chu kì \[2\pi \]?
A. \[y = \tan \left[ {\dfrac{x}{2}} \right]\] B. \[y = \sin 2x\]
C. \[y = \cos \left[ {\dfrac{x}{2}} \right]\] D. \[y = \cot 2x\]
Câu 14: Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là tứ giác lồi. Gọi \[O\]là giao điểm của \[AC\] và \[BD\], \[M\]là giao điểm của \[AB\] và \[CD\], \[N\]là giao điểm của \[AD\] và \[BC\]. Giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\]và \[\left[ {SCD} \right]\]là?
A. \[SA\] B. \[SN\] C. \[SM\] D. \[SO\]
Câu 15: Tìm số giá trị nguyên của \[m\] thuộc đoạn \[\left[ { - 2019;2019} \right]\] để phương trình sau có nghiệm
\[2\sin 2x + \left[ {m - 1} \right]\cos 2x = m + 1\]
A. \[2021\] B. \[2020\] C. \[4038\] D. \[4040\]
II. TỰ LUẬN [4 ĐIỂM]
Câu 1 [0.5 điểm]: Tìm tập xác định của hàm số \[y = \dfrac{{\cot \left[ {2x} \right]}}{{\cos \left[ {2x} \right]}}\].
Câu 2 [0.5 điểm]: Giải phương trình \[{\cos ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\].
Câu 3 [1 điểm]: Tìm \[a\] để phương trình \[\left[ {2\sin x - 1} \right]\left[ {\cos x - a} \right] = 0\] có đúng hai nghiệm thuộc \[\left[ {0;\pi } \right]\].
Câu 4 [1 điểm]: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left[ x \right] = x + {\cos ^2}x\] trên đoạn \[\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\].
Câu 5 [1 điểm]: Cho hình chópS.ABCvớiM,Nlần lượt là trung điểm củaSB,AB;Pthuộc đoạnACsao choAP= 2PC.
1. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
1.1. [MNP] và [ABC]. 1.2. [MNP] và [SBC].
2. Xác định giao điểmQcủa mặt phẳng [MNP] vớiSC. TínhPQkhi biếtSA=12cm.
Lời giải chi tiết
I. TRẮC NGHIỆM [6 ĐIỂM]
|
1. B |
2. B |
3. B |
4. B |
5. B |
|
6. C |
7. C |
8. C |
9. A |
10. A |
|
11. D |
12. D |
13. A |
14. C |
15. A |
Câu 1:
Phương pháp:
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có tập xác định \[D\].
- Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] là hàm số chẵn nếu \[\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left[ { - x} \right] = f\left[ x \right]\end{array} \right.\].
- Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] là hàm số lẻ nếu \[\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left[ { - x} \right] = - f\left[ x \right]\end{array} \right.\].
Cách giải:
Xét đáp án A:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\] \[ \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D\].
Ta có: \[f\left[ { - x} \right] = 1 + \tan \left[ { - x} \right] = 1 - \tan x \ne f\left[ x \right]\]
\[ \Rightarrow \] Hàm số \[f\left[ x \right] = 1 + \tan x\] là hàm không chẵn, không lẻ.
Xét đáp án B:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
Ta có: \[f\left[ { - x} \right] = {\left[ { - x} \right]^2} + \cos \left[ { - 3x} \right] = {x^2} + \cos \left[ {3x} \right] = f\left[ x \right]\].
\[ \Rightarrow \] Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^2} + \cos \left[ {3x} \right]\] là hàm chẵn.
Chọn B.
Câu 2:
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: \[ - 1 \le \cos x \le 1\] \[\forall x \in \mathbb{R}\].
Cách giải:
Xét đáp án B:
Vì \[ - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow 1 \le 2 - \cos x \le 3\,\,\forall x \in \mathbb{R}\].
Do đó \[2 - \cos x \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\].
Vậy hàm số \[y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}}\] có TXĐ là \[\mathbb{R}\].
Chọn B.
Câu 3:
Phương pháp:
- Biện luận phương trình bậc nhất \[ax + b = 0\].
- Sử dụng tính chất: \[ - 1 \le \cos x \le 1\] \[\forall x \in \mathbb{R}\].
Cách giải:
TH1: \[a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1\], khi đó phương trình trở thành \[0.\cos x = 1\] [Vô nghiệm].
TH2: \[a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 1\], khi đó ta có \[\cos x = \dfrac{1}{{a - 1}}\,\,\left[ {a \ne 1} \right]\].
Vì \[ - 1 \le \cos x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\] \[ \Rightarrow - 1 \le \dfrac{1}{{a - 1}} \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{a - 1}} \ge - 1\\\dfrac{1}{{a - 1}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 + a - 1}}{{a - 1}} \ge 0\\\dfrac{{1 - a + 1}}{{a - 1}} \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{{a - 1}} \ge 0\\\dfrac{{2 - a}}{{a - 1}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a \le 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le 0\end{array} \right.\,\,\left[ {tm\,\,a \ne 1} \right]\end{array}\]
Vậy \[\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le 0\end{array} \right.\].
Chọn B.
Câu 4:
Phương pháp:
Tìm giao điểm của đường và mặt.
Cách giải:
Trong [ABCD] gọi \[O = AC \cap BD\].
Trong \[\left[ {SAC} \right]\] gọi \[M = SO \cap AI\] ta có
\[M \in SO \subset \left[ {SBD} \right] \Rightarrow M \in \left[ {SBD} \right] \Rightarrow M = AI \cap \left[ {SBD} \right]\] với \[O = AC \cap BD;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M = SO \cap AI\].
Chọn B.
Câu 5:
Phương pháp:
Giải phương trình lượng giác cơ bản: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{6}} \right] = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{6}} \right] = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\end{array}\]
Chọn B.
Câu 6:
Phương pháp:
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
- Giải bất phương trình \[x > 0\], tìm số nguyên \[k\] nhỏ nhất thỏa mãn.
Cách giải:
Ta có: \[\tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
Xét \[x > 0 \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{4} + k\pi > 0 \Leftrightarrow k > \dfrac{1}{4}\].
\[ \Rightarrow \] Số nguyên \[k\] nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là \[{k_{\min }} = 1\].
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \[x = - \dfrac{\pi }{4} + \pi = \dfrac{{3\pi }}{4}\].
Chọn C.
Câu 7:
Phương pháp:
Dựa vào đồ thị các hàm số lượng giác.
Cách giải:
Đồ thị hàm số \[y = \cot x\]:
\[ \Rightarrow \] Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\] là khẳng định đúng.
Đồ thị hàm số \[y = \sin x\]:
\[ \Rightarrow \] Hàm số \[y = \sin x\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\] là mệnh đề ĐÚNG.
Đồ thị hàm số \[y = \cos x\]:
\[ \Rightarrow \] Hàm số \[y = \cos x\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]\] \[ \Rightarrow \] Hàm số \[y = - \cos x\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]\]. Do đó mệnh đề C sai.
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp:
- Sử dụng công thức nhân đôi \[\sin 2x = 2\sin x\cos x\] .
- Đưa phương trình về dạng tích sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sin 2x - \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left[ {2\cos x - \sqrt 3 } \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\end{array}\]
Chọn C.
Câu 9:
Phương pháp:
- Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác tìm \[\cos x\].
- Chú ý điều kiện \[x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0\].
- Sử dụng công thức nhân đôi: \[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\].
Cách giải:
Ta có: \[2{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{1}{2}\\\cos x = - 1\end{array} \right.\].
Vì \[x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0\], do đó \[\cos x = \dfrac{1}{2}\].
Vậy \[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^2} - 1 = - \dfrac{1}{2}\].
Chọn A.
Câu 10:
Phương pháp:
Áp dụng tính chất của phép tịnh tiến điểmMthànhMtheo vectovthì \[\overrightarrow {MM'} {\rm{\;}} = \vec v\].
Cách giải:
Đường tròn [C]: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} = 9\]có tâmI[1;-2]; bán kinhR=3.
GọiIlà tâm đường tròn[C].
Phép tịnh tiến điểmIthành điểmItheo véc-tơ \[\vec v\left[ {3;3} \right]\]thì \[\overrightarrow {II'} {\rm{\;}} = \vec v\]
Suy ra \[I'\left[ {4;1} \right]\]
Đường tròn [C]có tâm là \[I'\left[ {4;1} \right]\];R=3 nên có dạng \[{\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 9\]
Chọn A.
Câu 11:
Phương pháp:
- Sử dụng công thức nhân đôi: \[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ,\,\,cos2\alpha = co{s^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \].
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \[\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \].
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x.\cos x.\left[ {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right] = 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4}\sin 4x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 4x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\end{array}\]
Chọn D.
Câu 12:
Phương pháp:
- Mệnh đề [1]: Sử dụng đồ thị hàm số.
- Mệnh đề [2], [3]: Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Mệnh đề 4: Sử dụng tính chất sin bù.
Cách giải:
Xét mệnh đề [1]: Ta có đồ thị hàm số \[y = \sin x\] và \[y = \cos x\] như sau:
Đồ thị hàm số \[y = \sin x\]:
Đồ thị hàm số \[y = \cos x\]:
Hai hàm số này cùng đồng biến trên \[\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\]. Do đó mệnh đề [1] đúng.
Xét mệnh đề [2]: Phương trình hoành độ giao điểm: \[2019\sin x + 10\cos x = 0\] \[ \Leftrightarrow \tan x = - \dfrac{{10}}{{2019}}\].
Do đó phương trình này có vô số nghiệm, nên mệnh đề [2] đúng.
Xét mệnh đề [3]: Phương trình hoành độ giao điểm:
\[\tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\tan x}}\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\] .
+ Xét họ nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \].
\[0 < \dfrac{\pi }{4} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{3}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}\] \[ \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\].
+ Xét họ nghiệm \[x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \].
\[0 < - \dfrac{\pi }{4} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{5}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}\] \[ \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}\].
Vậy đồ thị hàm số \[y = \tan x\] và \[y = \cot x\] trên khoảng \[\left[ {0;\pi } \right]\] có 2 điểm chung, do đó mệnh đề [3] sai.
Xét mệnh đề [4]:
Ta có: \[\tan \left[ {\pi - x} \right] = - \tan x,\,\,\cot \left[ {\pi - x} \right] = - \cot x,\,\,\sin \left[ {\pi - x} \right] = \sin x\].
Trên khoảng \[\left[ {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\tan x > 0 \Leftrightarrow - \tan x < 0\\\cot x > 0 \Leftrightarrow - \cot x < 0\\\sin x < 0\end{array} \right.\].
Do đó mệnh đề [4] đúng.
Vậy có 1 mệnh đề sai.
Chọn D.
Câu 13:
Phương pháp:
- Hàm số \[y = \sin ax,\,\,y = \cos ax\] tuần hoàn với chu kì \[T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\].
- Hàm số \[y = \tan ax,\,\,y = \cot ax\] tuần hoàn với chu kì \[T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\].
Cách giải:
Hàm số \[y = \tan \left[ {\dfrac{x}{2}} \right]\] tuần hoàn với chu kì \[T = \dfrac{\pi }{{\dfrac{1}{2}}} = 2\pi \].
Chọn A.
Câu 14:
Phương pháp:
Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.
Cách giải:
Xét \[\left[ {SAB} \right]\] và \[\left[ {SCD} \right]\] có:
+ \[S\] là điểm chung thứ nhất.
+ \[M = AB \cap CD \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in AB \subset \left[ {SAB} \right] \Rightarrow M \in \left[ {SAB} \right]}\\{M \in CD \subset \left[ {SCD} \right] \Rightarrow M \in \left[ {SCD} \right]}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow M \in \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right] \Rightarrow M\] là điểm chung thứ hai.
Vậy \[\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right] = SM\].
Chọn C.
Câu 15:
Phương pháp:
Phương trình dạng \[a\sin x + b\cos x = c\] có nghiệm khi và chỉ khi \[{a^2} + {b^2} \ge {c^2}\].
Cách giải:
Phương trình \[2\sin 2x + \left[ {m - 1} \right]\cos 2x = m + 1\] có nghiệm khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{2^2} + {\left[ {m - 1} \right]^2} \ge {\left[ {m + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow 4 + {m^2} - 2m + 1 \ge {m^2} + 2m + 1\\ \Leftrightarrow 4m \le 4 \Leftrightarrow m \le 1\end{array}\]
Kết hợp điều kiện \[m \in \left[ { - 2019;2019} \right] \Rightarrow m \in \left[ { - 2019;1} \right]\].
Vậy có 2021 giá trị nguyên của \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
II. TỰ LUẬN [4 ĐIỂM]
Câu 1:
Phương pháp:
- Hàm phân thức xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.
- Hàm \[\cot x\] xác định khi và chỉ khi \[\sin x \ne 0\].
Cách giải:
Hàm số \[y = \dfrac{{\cot \left[ {2x} \right]}}{{\cos \left[ {2x} \right]}}\] xác định \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow 4x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{4}\].
Vậy TXĐ của hàm số là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{4};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Câu 2:
Phương pháp:
- Sử dụng công thức \[{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\], đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
- Giải phương trình bậc hai, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 3\sin x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x = - 4\,\,\left[ {KTM} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\end{array}\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\].
Câu 3:
Phương pháp:
- Giải phương trình tích.
- Giải phương trình lượng giác cơ bản, tìm số nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left[ {0;\pi } \right]\], sau đó biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left[ {2\sin x - 1} \right]\left[ {\cos x - a} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\cos x - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{1}{2}\\\cos x = a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\\cos x = a\,\,\left[ * \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Họ nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \] có 1 nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{6} \in \left[ {0;\pi } \right]\].
Họ nghiệm \[x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \] có 1 nghiệm \[x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left[ {0;\pi } \right]\].
Do đó để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc \[\left[ {0;\pi } \right]\] thì hoặc phương trình [*] vô nghiệm, hoặc phương trình [*] có nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{6}\] hoặc \[x = \dfrac{{5\pi }}{6}\].
TH1: [*] vô nghiệm \[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < - 1\end{array} \right.\].
TH2: [*] có nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{6}\].
\[ \Rightarrow \cos \dfrac{\pi }{6} - a = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Thử lại: Với \[a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \] có đúng 1 nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{6} \in \left[ {0;\pi } \right]\].
TH3: [*] có nghiệm \[x = \dfrac{{5\pi }}{6}\].
\[ \Rightarrow \cos \dfrac{{5\pi }}{6} - a = 0 \Leftrightarrow a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Thử lại: Với \[a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \] có đúng 1 nghiệm \[x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left[ {0;\pi } \right]\].
Vậy \[a \in \left[ { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right] \cup \left\{ { \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}\].
Câu 4:
Cách giải:
Giả sử \[{x_1},\,\,{x_2} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right];\,\,{x_1} < {x_2}\].
Xét
\[\begin{array}{l}f\left[ {{x_2}} \right] - f\left[ {{x_1}} \right] = \left[ {{x_2} - {x_1}} \right] + {\cos ^2}\left[ {{x_2}} \right] - {\cos ^2}\left[ {{x_1}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {{x_2} - {x_1}} \right] + \left[ {\cos {x_2} + \cos {x_1}} \right]\left[ {\cos {x_2} - \cos {x_1}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {{x_2} - {x_1}} \right] - 4\cos \dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}.sin\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}.\sin \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {{x_2} - {x_1}} \right] - \left[ {2sin\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}} \right]\left[ {2\sin \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {{x_2} - {x_1}} \right] - \sin \left[ {{x_2} + {x_1}} \right]\sin \left[ {{x_2} - {x_1}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \left[ {{x_2} - {x_1}} \right] - \sin \left[ {{x_2} - {x_1}} \right]\end{array}\]
Vì \[0 < {x_2} - {x_1} \le \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow x > \sin x\], do đó \[\left[ {{x_2} - {x_1}} \right] - \sin \left[ {{x_2} - {x_1}} \right] > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\].
Suy ra hàm số \[f\left[ x \right] = x + {\cos ^2}x\] đồng biến trên đoạn \[\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\].
\[ \Rightarrow f\left[ 0 \right] = 1 \le f\left[ x \right] \le f\left[ {\dfrac{\pi }{4}} \right] = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\].
Vậy GTLN của hàm số bằng \[\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\], đạt được tại \[x = \dfrac{\pi }{4}\] và GTNN của hàm số bằng 1, đạt được tại \[x = 0\].
Câu 5:
Phương pháp:
1. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng bằng cách xác định các điểm chung.
2. Chứng minh PQ // SA bằng cách áp dụng định lí Ta-lét đảo, từ đó áp dụng định lí Ta-lét tính PQ.
Cách giải:
1.
1.1. Xác định giao điểm của [MNP] và [ABC]
Ta có: N, P là hai điểm chung của hai mạt phẳng [MNP] và [ABC] \[ \Rightarrow \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = NP\].
1.2. Xác định giao điểm của [MNP] và [SBC].
Trong [ABC] gọi \[F = NP \cap BC\]
Vì \[F \in BC \subset \left[ {SBC} \right] \Rightarrow F \in \left[ {SBC} \right]\]. Trong [SBC] gọi \[Q = MF \cap SC\].
\[ \Rightarrow \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = MQ\].
2. Theo 1.2 ta đã xác định được \[Q = MF \cap SC.\] Mà \[MF \subset \left[ {MNP} \right] \Rightarrow Q = SC \cap \left[ {MNP} \right]\].
Trong [ABC], lấy \[G \in NF\] sao cho \[GC//AB\].
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\dfrac{{GC}}{{AN}} = \dfrac{{PC}}{{AP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow GC = \dfrac{1}{2}AN\]. Mà \[AN = BN{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {gt} \right] \Rightarrow GC = \dfrac{1}{2}BN\].
\[ \Rightarrow \dfrac{{GC}}{{BN}} = \dfrac{{FG}}{{FN}} = \dfrac{{FC}}{{FB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C\] là trung điểm của BF.
Trong [SBC] kẻ \[EC//SB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {E \in MF} \right]\] .
Xét tam giác FBM có:
C là trung điểm của BF [cmt];
\[EC//SB\]
\[ \Rightarrow E\] là trung điểm của MF [Định lí đường trung bình của tam giác].
\[ \Rightarrow EC\] là đường trung bình của tam giác FMB \[ \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{MB}} = \dfrac{1}{2}\]. Mà \[MB = SM \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{SM}} = \dfrac{1}{2}\]
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\dfrac{{EC}}{{SM}} = \dfrac{{QC}}{{SQ}} = \dfrac{1}{2}\]. Mà \[AP = 2PC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {gt} \right] \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{AP}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{QC}}{{SQ}} = \dfrac{{PC}}{{AP}} \Rightarrow PQ//SA\] [định lí Ta-lét đảo] và \[\dfrac{{PQ}}{{SA}} = \dfrac{{PC}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow PQ = \dfrac{1}{3}SA = \dfrac{1}{3}.12 = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {cm} \right]\].