Đề bài - câu 54 trang 60 - 61 sách bài tập hình học 11 nâng cao

\(\eqalign{& \left( {C'AB} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BI \cr& \left( {C'AB} \right) \cap \left( {B'AC} \right) = {\rm{AJ}} \cr& \left( {B'AC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = CK \cr} \)

Đề bài

Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACCA, BCCB, ABBA.

a) Chứng minh rằng: IJ // (ABBA), JK // (ACCA), IK // (BCC'B).

b) Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy tại một điểm O.

c) Mặt phẳng (IJK) song song với mặt đáy của hình lăng trụ.

d) Gọi G, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABC. Chứng minh rằng ba điểm G, O, G thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Đề bài - câu 54 trang 60 - 61 sách bài tập hình học 11 nâng cao

(h.107)

a) Ta có IJ là đường trung bình của tam giác CAB, nên IJ // AB. Mà AB nằm trên mp(ABBA). Vậy IJ // (ABBA).

Chứng minh tương tự, ta có:

JK // (ACCA), IK // (BCCB)

b) Xét ba mặt phẳng (CAB), (ABC), (BAC). Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {C'AB} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BI \cr
& \left( {C'AB} \right) \cap \left( {B'AC} \right) = {\rm{AJ}} \cr
& \left( {B'AC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = CK \cr} \)

Vậy theo định lí giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng BI, AJ, CK đồng quy tại một điểm.

c) Theo câu a), ta có

\(\left. \matrix{
{\rm{IJ}}//AB \hfill \cr
JK//AC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left( {{\rm{IJ}}K} \right)//\left( {ABC} \right)\)

d) Dễ thấy O là trọng tâm tam giác CAB. Gọi M là giao điểm của CO với AB thì M là trung điểm của AB. Vậy ba điểm M, G, C thẳng hàng.

Vì O và G lần lượt là trọng tâm của hai tam giác CAB và CAB nên ta có:

\({{MO} \over {MC'}} = {{MG} \over {MC}} = {1 \over 3} \Rightarrow OG//CC'\,\,(1)\)

Chứng minh tương tự OG // CC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm O, G, G thẳng hàng.