Đề bài - câu 19 trang 224 sách bài tập hình học 11 nâng cao
|
\(\eqalign{ & AC_1^2 = AB_1^2 + {B_1}C_1^2 \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} = {a^2} + {x^2} + {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = 2{{\rm{x}}^2} + {a^2} \cr} \) Đề bài Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC cạnh đáy bằng a. Lấy điểm B1thuộc BB, điểm C1thuộc CC. Đặt \(B{B_1} = x,C{C_1} = y\). a) Tam giác AB1C1có thể vuông ở A được không? Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x, y để AB1C1là tam giác vuông tại B1. b) Giả sử AB1C1là tam giác thường và B1là trung điểm của BB, y = 2x và α là góc giữa mp(ABC) và mp(AB1C1). Hãy tính diện tích tam giác AB1C1và độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho. Lời giải chi tiết a) Tam giác AB1C1vuông ở A khi và chỉ khi \({B_1}C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2\) Mặt khác \(\eqalign{ & {B_1}C_1^2 = {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} \cr & AB_1^2 = {a^2} + {x^2} \cr & AC_1^2 = {a^2} + {y^2} \cr} \) Do đó tam giác AB1C1vuông ở A khi và chỉ khi \(\eqalign{ & {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} = 2{{\rm{a}}^2} + {x^2} + {y^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = - {a^2} \cr} \) Điều này không xảy ra. Vậy tam giác AB1C1không thể vuông tại A được. Tam giác AB1C1vuông tại B1khi và chỉ khi \(\eqalign{ & AC_1^2 = AB_1^2 + {B_1}C_1^2 \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} = {a^2} + {x^2} + {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = 2{{\rm{x}}^2} + {a^2} \cr} \) Đó là hệt thức liên hệ giữa a, x, y để tam giác AB1C1vuông tại B1. b) Khi B1là trung điểm của BB, y = 2x thì C1trùng với C. Gọi \(I = BC \cap {B_1}C'\) thì \(AI = \left( {A{B_1}C'} \right) \cap \left( {ABC} \right)\). Vì \({B_1}B = {1 \over 2}BB'\) nên BI = BC, từ đó ta có IAC là tam giác vuông tại A, tức là \(AC \bot AI\). Mặt khác, \(C'C \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC' \bot AI\) (định lí ba đường vuông góc). Như vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(AB1C) và mp(ABC). Theo giả thiết thì \(\widehat {C'AC} = \alpha \) Từ đó \({S_{ABC}} = {S_{A{B_1}{C_1}}}\cos \alpha \) tức là \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \alpha }}\) Như vậy \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {4\cos \alpha }}\) Ta có: \(CC' = AC\tan \alpha = a\tan \alpha \) Vậy độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho là \(a\tan \alpha \).
|
