Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung điểm của BC và E là giao điểm của đường thẳng AM với đường thẳng DC.
a] Chứng minh rằng tứ giác ABEC là hình bình hành.
b] Gọi F là điểm đối xứng của B qua C. CHứng minh rằng tứ giác BEFD là hình thoi.
c] Gọi I là trung điểm của cạnh EF. Chứng minh rằng ba điểm A, C, I thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác ABM và tam giác MCE có:
\[BM = MC\] [M là trung điểm của BC]
\[\widehat {ABM} = \widehat {MCE}\,\,\left[ { = {{90}^0}} \right]\]
\[\widehat {BMA} = \widehat {CME}\] [hai góc đối đỉnh]
Do đó \[\Delta ABM = \Delta ECM\,\,\left[ {g.c.g} \right] \Rightarrow AM = EM\] [hai cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow M\] là trung điểm của AE.
Tứ giác ABECcó:
BC và AE cắt nhau tại M [gt];
M là trung điểm của BC [gt]
M là trung điểm của AE [cmt]
Do đó tứ giác ABEC là hình bình hành.
b] Ta có \[CE = CD\,\,\left[ { = AB} \right]\]
Tứ giác DBEF có:
DE và BF cắt nhau tại C [gt]
C là trung điểm của DE [cmt]
C là trung điểm của BF [F đối xứng với B qua C]
Do đó tứ giác DBEF là hình bình hành.
Mà \[DE \bot BF\,\,\left[ {BC \bot DC;\,\,E \in DC;\,\,F \in BC} \right]\] nên tứ giác BDEF là hình thoi.
c] C, I lần lượt là trung điểm của BF và EF
\[ \Rightarrow CI\] là đường trung bình của tam giác BEF \[ \Rightarrow CI//BE\]
Mà \[CA//BE\] [tứ giác ABEC là hình bình hành]
Nên CI, CA trùng nhau [Tiên đề Ơ-clit]
Vậy ba điểm C, I, A thẳng hàng.