Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐII. Lý thuyết*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đốicủa một số a[ a là số thực]* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là sốđối của nó.TQ: Nếu a 0 a aNếu a 0 a aNếu x-a 0=> = x-aNếu x-a 0=> = a-x*Tính chấtGiá trị tuyệt đối của mọi số đều không âmTQ: a 0 với mọi a RCụ thể:=0 a=0≠ 0 a ≠ 0* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lạihai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đốinhau. a bTQ: a b a b* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏhơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.TQ: a a a và a a a 0; a a a 0* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơnTQ: Nếu a b 0 a b* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơnTQ: Nếu 0 a b a b* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.TQ: a.b a . b* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.TQ:aabb* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.2TQ: a a 21 * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đốicủa hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.TQ: a b a b và a b a b a.b 0II. Các dạng tốn :I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:1. Dạng 1: A[x]k [ Trong đó A[x] là biểu thức chứa x, k là một số chotrước ]* Cách giải:- Nếu k < 0 thì khơng có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức[ Vì giá trị tuyệtđối của mọi số đều không âm ]- Nếu k = 0 thì ta có A[ x] 0 A[ x] 0 A[ x ] k- Nếu k > 0 thì ta có: A[ x] k A[ x ] kBài 1.1: Tìm x, biết:a] 2 x 5 4b]1 51 2x 3 44c]11 1 x 25 3d]37 2x 1 48Bài 1.2: Tìm x, biết:a] 2 2 x 3 12b] 7,5 3 5 2 x 4,5c] x 4 3,75 2,1515Bài 1.3: Tìm x, biết:a] 2 3x 1 1 5b]x 1 32c] x 2 1 3,55 2d] x 11235Bài 1.4: Tìm x, biết:1 3 5%4 43 15 54,5 x 4 23 6a] x b] 2 315x 244c]3 43 7 x 2 54 4d]Bài 1.5: Tìm x, biết:9111 31 71531: x 2 : 4x b]c] 2,5 : x 3434 25 244221x 2 3 : 654 32. Dạng 2: A[x] B[x] [ Trong đó A[x] và B[x] là hai biểu thức chứa x ]a] 6,5 d]* Cách giải: a b A[ x] B[ x ]Vận dụng tính chất: a b ta có: A[ x] B[ x] a b A[ x] B[ x]Bài 2.1: Tìm x, biết:a] 5 x 4 x 2b] 2 x 3 3x 2 0c]7 x 1 5 x 6 022 3x 4 x 3d] Bài 2.2: Tìm x, biết:31x 4 x 1 b]2275 1x x 5 086 2a]57 53x x 0 c]42 857241x x d]53343. Dạng 3: A[x]B[x] [ Trong đó A[x] và B[x] là hai biểu thức chứa x ]* Cách 1: Ta thấy nếu B[x] < 0 thì khơng có giá trị nào của x thoả mãn vì giátrị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:A[ x ] B [ x] [1]Điều kiện: B[x] 0 [*] A[ x] B[ x ][1] Trở thành A[ x] B[ x] [ Đối chiếu giá tri x tìm được với A[ x] B[ x]điều kiện [ * ]* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:Nếu a 0 a aNếu a 0 a aTa giải như sau: A[ x] B[ x] [1] Nếu A[x] 0 thì [1] trở thành: A[x] = B[x] [ Đối chiếu giá trị x tìm đượcvới điều kiện ] Nếu A [x ] < 0 thì [1] trở thành: - A[x] = B[x] [ Đối chiếu giá trị x tìmđược với điều kiện ]Bài 3.1: Tìm x, biết:1x 3 2 x2c] 5 x x 12d] 7 x 5 x 1Bài 3.2: Tìm x, biết:a] 9 x 2 xb] 5 x 3x 2c] x 6 9 2 xd] 2 x 3 x 21Bài 3.3: Tìm x, biết:a] 4 2 x 4 xb] 3x 1 2 xc] x 15 1 3xd] 2 x 5 x 2Bài 3.4: Tìm x, biết:a] 2 x 5 x 1b] 3x 2 1 xc] 3x 7 2 x 1d] 2 x 1 1 xBài 3.5: Tìm x, biết:a] x 5 5 xb] x 7 x 7c] 3x 4 4 3xd] 7 2 x 7 2 xa]b] x 1 3x 24. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:A[ x] B[ x] C [ x] m Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán [ Đốichiếu điều kiện tương ứng ]Bài 4.1: Tìm x, biết:a] 4 3x 1 x 2 x 5 7 x 3 12b] 3 x 4 2 x 1 5 x 3 x 9 53 15c] 2 x x 11 8 1,255121215d] 2 x 3 x 3 2 xBài 4.2: Tìm x, biết:a] 2 x 6 x 3 8c] x 5 x 3 9d] x 2 x 3 x 4 2e] x 1 x 2 x 3 6f] 2 x 2 4 x 11Bài 4.3: Tìm x, biết:a] x 2 x 3 2 x 8 9b] 3x x 1 2 x x 2 12c] x 1 3 x 3 2 x 2 4d] x 5 1 2 x xe] x 2 x 3 x 1f] x 1 x x x 3Bài 4.4: Tìm x, biết:a] x 2 x 5 3c] 2 x 1 2 x 5 4b] x 3 x 5 8d] x 3 3x 4 2 x 15. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:A[x] B[x] C[x]D[x] [1]Điều kiện: D[x] 0 kéo theo A[ x] 0; B[ x] 0; C [ x] 0Do vậy [1] trở thành: A[x] + B[x] + C[x] = D[x]Bài 5.1: Tìm x, biết:a] x 1 x 2 x 3 4 x35c] x 2 x x b] x 1 x 2 x 3 x 4 5 x 114 x2d] x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5 xBài 5.2: Tìm x, biết:123100 x x ... x 101x1011011011011111 x x ... x 100 xb] x 1.22.33.499.1001111 x x ... x 50 xc] x 1.33.55.797.991111 x x ... x 101xd] x 1 .55 .99.13397.401a] x 6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:Bài 6.1: Tìm x, biết:a] 2 x 1 1 42 52b] x 2 x 1x2 22Bài 6.2: Tìm x, biết:4322c] x x 4 x a] 2 x 1 1 12 5b]13 2x 1 24 52c] x x 3x4Bài 6.3: Tìm x, biết:2a] x x 3x412332 x 44b] x 2 x Bài 6.4: Tìm x, biết:a] 2 x 3 x 1 4 x 1c] x b] x 1 1 21332x 2 x 244c] 3x 1 5 27. Dạng 7: A B 0Vận dụng tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bấtđẳng thức.* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.* Cách giải chung: A B 0A 0 A B 0B 0 A 0B2: Khẳng định: A B 0 B 0B1: đánh giá:Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:a] 3x 4 3 y 5 0b] x y y 9025c] 3 2 x 4 y 5 0Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:32x y 3 047x 2007 y 2008 0a] 5 b]2 1 311 23 x 1,5 y 03 2 417 13c]* Chú ý1: Bài tốn có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thayđổi* Cách giải: A B 0 [1]A 0 A B 0B 0[2] A 0 B 0Từ [1] và [2] A B 0 Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:a] 5 x 1 6 y 8 0b] x 2 y 4 y 3 0Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:5c] x y 2 2 y 1 0 a] 12 x 8 11 y 5 0b] 3x 2 y 4 y 1 0c] x y 7 xy 10 0* Chú ý 2: Do tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chấtkhơng âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có cácbài tương tự.Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:20072008 y40a] x y 2 y 3 0b] x 3 y20062008c] x y 2007 y 1 0d] x y 5 2007 y 3 0Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :a] x 1 2 y 3 2 02004c] 3 x 2 y 4 y 10254b] 2 x 5 5 2 y 7 01d] x 3 y 1 2 y 200020Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:a] x 2007 y 2008 0c]131 x 2422006b]2007 46y02008 525753 x y 10 y 20320082007d] 2007 2 x y 2008 y 4 08. Dạng 8: A B A B* Cách giải: Sử dụng tính chất: a b a bTừ đó ta có: a b a b a.b 0Bài 8.1: Tìm x, biết:a] x 5 3 x 8b] x 2 x 5 3c] 3x 5 3x 1 6d] 2 x 3 2 x 5 11e] x 1 2 x 3 3x 2f] x 3 5 x 2 x 4 2Bài 8.2: Tìm x, biết:a] x 4 x 6 2b] x 1 x 5 4d] 5 x 1 3 2 x 4 3x e] x 2 3x 1 x 1 3Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :22a] x 1 y 3 0Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:a] x 2007 y 2008 0c] 3x 7 3 2 x 13f] x 2 x 7 4Bài 4: Tìm x thoả mãn:a] x 5 3 x 8II Tìm cặp giá trị [ x; y ] nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệtđối:6 1. Dạng 1: A B m với m 0* Cách giải: A 0 B 0* Nếu m = 0 thì ta có A B 0 * Nếu m > 0 ta giải như sau:A B m [1]Do A 0 nên từ [1] ta có: 0 B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên [ x, y] thoả mãn:a] x 2007 x 2008 0 b] x y 2 y 3 02c] x y 2 y 1 0Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên [ x, y] thoả mãn:54a] x 3 y y 4 0b] x y 5 y 3 0c] x 3 y 1 3 y 2 0Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên [x, y ] thoả mãn:a] x 4 y 2 3b] 2 x 1 y 1 4 c] 3x y 5 5d]5 x 2 y 3 7Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:a] 3 x 5 y 4 5 b] x 6 4 2 y 1 12 c] 2 3x y 3 10 d]3 4 x y 3 21Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:222a] y 3 2 x 3b] y 5 x 1c] 2 y 3 x 4d]23 y 12 x 22. Dạng 2: A B m với m > 0.* Cách giải: Đánh giáA B m [1]A 0 A B 0 [2]B 0Từ [1] và [2] 0 A B m từ đó giải bài tốn A B k như dạng 1 với0 k mBài 2.1: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:a] x y 3 b] x 5 y 2 4c] 2 x 1 y 4 3 d] 3x y 5 4Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:4 2 x 5 y 3 5a] 5 x 1 y 2 7 b]c]3 x 5 2 y 1 3d]3 2 x 1 4 2 y 1 73. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a b a b xét khoảng giá trị của ẩnsố.7 Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:a] x 1 4 x 3 b] x 2 x 3 5 c] x 1 x 6 7 d] 2 x 5 2 x 3 8Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên [ x, y] thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.a] x + y = 4 và x 2 y 6b] x +y = 4 và 2 x 1 y x 5c] x –y = 3 và x y 3d] x – 2y = 5 và x 2 y 1 6Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn đồng thời:a] x + y = 5 và x 1 y 2 4b] x – y = 3 và x 6 y 1 4c] x – y = 2 và 2 x 1 2 y 1 4d] 2x + y = 3 và 2 x 3 y 2 84. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của mộttích:* Cách giải : A[ x].B[ x] A[ y ]Đánh giá: A[ y ] 0 A[ x].B[ x] 0 n x m tìm được giá trị của x.Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:a] x 2 x 3 0 b] 2 x 1 2 x 5 0 3x 1 5 2x 0c] 3 2 x x 2 0 d]Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:a] 2 x x 1 y 1b] x 31 x y c] x 2 5 x 2 y 1 2Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:a] x 1 3 x 2 y 1b] x 2 5 x y 1 1 c] x 3 x 5 y 2 05. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = BĐánh giá: A m [1]Đánh giá: B m [2] A m B mTừ [1] và [2] ta có: A B Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:122a] x 2 x 1 3 y 2c] y 3 5 b] x 5 1 x y 1 3610 2 x 62d] x 1 3 x y 3 32Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:816a] 2 x 3 2 x 1 2 y 5 2 2b] x 3 x 1 y 2 y 21210c] 3x 1 3x 5 y 3 2 2d] x 2 y 1 5 y 4 2Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên [ x, y ] thoả mãn:8 14202a] x y 2 7 y 1 y 32b] x 2 4 3 y 2 5630c] 2 x 2007 3 y 2008 2d] x y 2 5 3 y 5 6III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x 4,1a] A x 3,5 4,1 xb] B x 3,5 x 4,1Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:a] A x 1,3 x 2,5b] B x 1,3 x 2,5Bài 3: Rút gọn biểu thức:a] A x 2,5 x 1,715b] B x x 25c] C x 1 x 331x5713 2b] B x x 75 6Bài 4: Rút gọn biểu thức khia] A x 13 4 x 75 5Bài 5: Rút gọn biểu thức:a] A x 0,8 x 2,5 1,9 với x < - 0,8b]2x 4,1311111c] C 2 x x 8 với x 255555B x 4,1 x 12d] D x 3 x 32931với x > 02==============&=&=&==============IV.Tính giá trị biểu thức:Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:a] M = a + 2ab – b với a 1,5; b 0,75b] N =a 2với a 1,5; b 0,752 bBài 2: Tính giá trị của biểu thức:a] A 2 x 2 xy y với x 2,5; y c] C 3413b] B 3a 3ab b với a ; b 0,255a 311với a ; b 0,25 d] D 3x 2 2 x 1 với x 3 b32Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:32a] A 6 x 3x 2 x 4 với x 2312b] B 2 x 3 y với x ; y 39với 15x 2 7 x 1c] C 2 x 2 31 x với x = 4 d] D với x 23x 1V.Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệtđối:1. Dạng 1: Sử dụng tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối:* Cách giải chủ yếu là từ tính chất khơng âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tínhchất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:Bài 1.1 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:a] A 0,5 x 3,5Db] B 1,4 x 2 c] C 3x 2d]4x 52 x 33x 1e] E 5,5 2 x 1,5f] F 10,2 3x 14g]h] H 2,5 x 5,8i] I 2,5 x 5,8k] K 10 4 x 2l] L 5 2 x 1m] M x 2 3G 4 5 x 2 3 y 125,8112n] N 2 3 x 5 4Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a] A 1,7 3,4 xb] B x 2,8 3,5d] D 3x 8,4 14,2e] E 4 x 3 5 y 7,5 17,52 35 7l] L 2 3x 2 1g] G 4,9 x 2,8h] H x k] K 2 3x 1 4c] C 3,7 4,3 xf] F 2,5 x 5,8i] I 1,5 1,9 xm] M 51 4 x 1Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:151a] A 5 4 3x 7 321420b] B 3 815 x 21 7 c] C 5 3x 5 4 y 5 822421e] E 3 x 3 y 2 5 x 5 14d] D 6 2 x 2 y 3 2 x 1 6Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:a] A 2 7 x 5 117x 5 4b] B 2 y 7 132 2y 7 615 x 1 32c] C Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:8a] A 5 4 5 x 7 24614b] B 5 5 6 y 8 351528C 12 3 x 3 y 2 x 1 35Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:10c]6 x 1 8 a] A 21 4 x 6 333 4x 6 5b] B 6 y 5 142 y 5 14c] C 15 x 7 683 x 7 122. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị củabiểu thức:Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a] A x 5 2 xb] B 2 x 1 2 x 6d] D 4 x 3 4 x 5e] E 5 x 6 3 5 xc] C 3x 5 8 3xf] F 2 x 7 5 2 xBài 2.2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a] A 2 x 3 2 x 5b] B 3 x 1 4 3xc]C 4 x 5 4 x 1Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:a] A x 5 x 4b] B 2 x 3 2 x 4c] C 3x 1 7 3xBài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:a] A 2 x 5 2 x 6b] B 3 x 4 8 3xc] C 5 5 x 5 x 7Bài 2.5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a] A x 1 x 5b] B x 2 x 6 5c] C 2 x 4 2 x 13. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a b a bBài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a] A x 2 x 3b] B 2 x 4 2 x 5c] C 3 x 2 3x 1Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a] A x 5 x 1 4b] B 3x 7 3x 2 8 c] C 4 x 3 4 x 5 12Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a] A x 3 2 x 5 x 7b] B x 1 3x 4 x 1 5c] C x 2 4 2 x 5 x 3d] D x 3 5 6 x 1 x 1 3Bài 3.4 : Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A x 1 y 2Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:B x 6 y 1Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:C 2x 1 2 y 1Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2 x 3 y 2 211 12