Tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm bất kì thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó. Tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường cong y = f [x] tại điểm x = c trên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm [c, f [c]] trên đường cong và có độ dốc f "[c] với f " là đạo hàm của f.
Bạn đang xem: Phương trình tiếp tuyến lớp 11
Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến "đi theo hướng" của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.
Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng "chỉ chạm vào" mặt cong tại điểm đó.
- Hệ số góc k của tiếp tuyến chính là f′[x] . Vậy khi bài toán cho hệ số góc k thì các bạn sẽ đi giải phương trình sau:f′[x0] = k; với x0 là hoành độ tiếp điểm.
Giải phương trình này các bạn sẽ tìm được x0, từ đó sẽ tìm được y0 .
Đạo hàm của hàm số y = f[x] tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị [C] của hàm số tai điểm M[x0;y0].
Khi đó phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M[x0;y0] là y = y′[x0][x−x0] + y0
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f[x] tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị [C] của hàm số tại điểm M0[x0; f[x0]]
Khi đó phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểm M0[x0; f[x0]] là:
y - y0 = [f"[x0][x-x0] [y0 = f[x0]
Nếu [C1] : y = px + q và [C2] : y = ax2 + bx + c thì [C1] và [C2] tiếp xúc nhau
phương trình ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.
II. Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương trình tiếp tuyến được chia thành 3 dạng cơ bản là:
+ Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M
+ Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
+ Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k
Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M[x0,y0] có dạng:
y=f‘[x0][x−x0]+y0 [1]
Trong đó f‘[x0] là đạo hàm của hàm số tại điểm x0.
x0;y0 là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.
Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: f′[x0];x0 và y0.
Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước M[x0,y0]
Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M[x0,y0] thì công việc cần làm là tìm f′[x0];x0 và y0, trong đó x0,y0 chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính f′[x0], rồi thay vào phương trình [1] là xong.
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
Cho đồ thị hàm số y=f[x], viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A[a,b]
Phương pháp:
Gọi phương trình tiếp tuyến của Δ có dạng: f"x0[x - x0] + y0
Và có tiếp điểm M0[x0,y0]
Vì A[a,b] thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:
b=f′x0[a–x0]+fx0 với fx0=y0
Phương trình này chỉ chứa ẩn x0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm x0.
Sau đó sẽ tìm được f′x0và y0.
Xem thêm: Lợi Ích Của Nhụy Hoa Nghệ Tây Uống Có Tác Dụng Gì Cho Sức Khỏe?
Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được
Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k
Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị [C] y = f[x] khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm f’[x]
Bước 2: Giải phương trình f’[x] = k để tìm hoành độ x0 của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M0[x0;y0] với y0=f[x0]
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M0[x0;y0]:
y=f′[x0][x–x0]+y0
Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua tiếp điểm M[x0,y0] là y=a[x−x0]+y0
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
III. Bài tập
Bài 1:
Hướng dẫn:
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y’ = x2 + 6x
Ta có:
k = -9 ⇔ y’[xo] = - 9
⇔ xo2 + 6xo = -9
⇔ [xo + 3]2 = 0
⇔ xo = -3 ⇒ yo = 16
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là [d]: y = -9[x + 3] + 16 = -9x – 11
Bài 2:
Hướng dẫn:
1. Hàm số đã cho xác định D = R
Gọi [t] là tiếp tuyến của đồ thị [C] của hàm số và [t] vuông góc với đường thẳng y = [1/6]x - 1, nên đường thẳng [t] có hệ số góc bằng -6
Cách 1: Gọi M[xo ; yo] là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến [t] và đồ thị [C] của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:
y’[xo] = -6 ⇔ -4xo3 - 2xo = -6 ⇔ [xo-1][2xo2+2xo+3] = 0 [*].
Vì 2xo2 + 2xo + 3 > 0 ∀xo ∈ R nên phương trình
[*] ⇔ xo = 1 ⇒ yo = 4 ⇒ M[1;4]
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6[x – 1] + 4 = -6x + 10
Cách 2: Phương trình [t] có dạng y = -6x + m
[t] tiếp xúc [C] tại điểm M[xo ; yo] khi hệ phương trình sau có nghiệm xo
2. Hàm số đã cho xác định D = R
16:29:2429/09/2021
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 thực ra là bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm.
Vì vậy cách viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y0 cho trước cũng sẽ vận dụng tương tự cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, cụ thể:
I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 như sau
- Bước 1: Gọi M[x0, y0] là tiếp điểm. Từ y0 ta giải phương trình f[x] = y0 tìm được các nghiệm x0.
- Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'[x] của hàm số f[x] ⇒ f'[x0].
- Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm [x0, y0] có dạng:
y - y0 = f'[x0].[x - x0]
> Lưu ý: Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.
II. Bài tập minh họa viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0
* Bài tập 1: Cho hàm số y= x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 2.
> Lời giải:
Hàm số y= x3 + 4x + 2.
- Xét phương trình: x3+ 4x+ 2= 2
⇔ x3+ 4x = 0 ⇔ x= 0
- Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 4
⇒ y’[0] = 2.02 + 4 = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2 có dạng: y - y0 = f'[x0].[x - x0]
⇔ y - 2 = 4[x – 0]
⇔ y= 4x + 2
Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số y= x3 + 4x + 2 tại điểm có tung độ bằng 2 là: y= 4x + 2.
* Bài tập 2: Cho hàm số y = x3 + x2 + 3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 3.
> Lời giải:
- Hàm số y = x3 + x2 + 3
- Tung độ y0 = 3, xét phương trình: x3+ x2 + 3= 3
⇔ x3+ x2 = 0 ⇔ x2[x + 1] = 0
⇔ x = 0 hoặc x = -1
Như vậy sẽ có 2 tiếp tuyến tại hai điểm có tung độ bằng 3 là [0;3] và [-1;3].
- Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 2x
⇒ y’[0] = 3.02 + 2.0 = 0
và y'[-1] = 3.[-1]2 + 2.[-1] = 3 - 2 = 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2 có dạng: y - y0 = f'[x0].[x - x0]
* Với điểm có tọa độ [0;3] là: y - 3 = 0.[x - 0] ⇔ y = 3
* Với điểm có tọa độ [-1;3] là: y - 3 = 1.[x - [-1]] ⇔ y = x + 4
Vậy tại điểm có tung độ bằng 3 hàm số y = x3 + x2 + 3 có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 3 và y = x + 4.
Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 cho trước, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.
Tags
Bài viết khác
- Bài tập Định luật ôm đối với toàn mạch, công thức tính suất điện động và hiệu suất của nguồn điện - Vật lý 11 bài 9
- Bài tập Ghép các nguồn điện thành bộ: Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 58 SGK Vật lý 11 bài 10
- Công thức tính suất điện động và điện trở trong của bộ nguồn ghép nối tiếp, song song, hỗn hợp đối xứng - Vật lý 11 bài 10
- Định luật ôm [Ohm] đối với toàn mạch, Công thức tính suất điện động và hiệu suất của nguồn điện - Vật lý 11 bài 9
- Cấu tạo phân tử của Nitơ, Tính chất vật lí, Tính chất hóa học của Nitơ, Cách điều chế và ứng dụng Nitơ - Hoá 11 bài 7
- Tính chất hoá học, tính chất vật lí của axit Photphoric H3PO4, cấu tạo phân tử, điều chế và ứng dụng - Hóa 11 bài 11
- Bài tập axit Photphoric, muối Photphat: Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 53, 54 SGK Hóa 11 bài 11
- Bài tập Photpho: Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 49, 50 SGK Hóa 11 bài 10
- Tính chất hoá học của Photpho, Tính chất vật lí của photpho, sản xuất và ứng dụng photpho - Hoá 11 bài 10
- Liên kết đơn, Liên kết đôi, Liên kết ba là gì? Nội dung và ý nghĩa thuyết cấu tạo hóa học trong hợp chất hữu cơ - Hóa 11 bài 22