Bài tập phương trình mũ có lời giải
|
Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu: Các dạng bài tập vận dụng cao phương trình mũ và phương trình logarit. Show PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARITPhương trình mũ và phương trình logarit là một chủ đề xuất hiện xuyên suốt trong kỳ thi Đại học hay kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán từ những năm 2000 cho đến bây giờ kể cả hình thức tự luận hay trắc nghiệm. Năm 2016, với những cải cách và đổi mới giáo dục, kỳ thi Đại học và kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia được gộp làm một và gọi là kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia với mục tiêu kép là xét tuyển tốt nghiệp và xét tuyển Đại học, bên cạnh những câu hỏi về hàm số mũ và logarit mức độ dễ thì xuất hiện hiện thêm các câu hỏi vận dụng phương trình mũ và logarit nâng cao. Trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 và năm 2021, các bài toán về phương trình mũ và phương trình logarit thường là các câu hỏi mục tiêu 9 điểm trở lên và đóng vai trò là các câu hỏi phân loại học sinh khá giỏi để xét tuyển Đại hoc. Dạng toán về phương trình mũ và logarit này thuộc chủ đề tìm tham số m để bài phương trình có nghiệm. Để giải được các bài toán này, bên cạnh kiến thức về hàm số mũ và logarit, các kiến thức cơ bản để giải bài tập phương trình mũ logarit thì các bạn học sinh cần phải kết hợp thêm các kiến thức về đạo hàm, khảo sát hàm số, đồ thị hàm số được học ở chương 1 lớp 12 môn Toán. NỘI DUNG TÀI LIỆUA. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮMI. PHƯƠNG TRÌNH MŨ1. Phương trình mũ cơ bản Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng a^x = b (a>0, b khác 1) - Nếu b > 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất x = loga(b). - Nếu b = 0 hoặc b < 0 thì phương trình vô nghiệm. 2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản a^A(x) = b^B(x) tương đương A(x) = B(x), (a > 0 và a khác 1) b) Phương pháp đặt ẩn phụ c) Logarit hóa II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT |
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) ${{3}^{{{x}^{2}}-x+1}}={{3}^{2x-1}}$ b) ${{\left( 1,5 \right)}^{5x-7}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x+1}}$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ${{3}^{{{x}^{2}}-x+1}}={{3}^{2x-1}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1=2x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=1;x=2$
b) Ta có: ${{\left( 1,5 \right)}^{5x-7}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x+1}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x+1}}={{\left[ {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-1}} \right]}^{5x-7}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-5x+7}}$
$\Leftrightarrow x+1=-5x+7\Leftrightarrow 6x=6\Leftrightarrow x=1$
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}$ b) ${{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$ |
Lời giải chi tiết
a)$PT\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2.2}^{x}}+{{4.2}^{2}}={{5}^{x}}+2.\frac{{{5}^{x}}}{5}\Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=\frac{7}{5}{{.5}^{x}}$
$\Leftrightarrow \frac{{{2}^{x}}}{{{5}^{x}}}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{2}{5}}}\frac{1}{5}$
b) Do $\left( \sqrt{5}+2 \right)\left( \sqrt{5}-2 \right)=1\Rightarrow \left( \sqrt{5}+2 \right)={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{-1}}$
Do đó $PT\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{-1}} \right]}^{x-1}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{1-x}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$ (ĐK $x\ne -1$)
$\Leftrightarrow 1-x=\frac{x-1}{x+1}\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=1;x=-2$.
| Bài tập 3: Giải các phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{x}}.2+{{2}^{x}}{{.2}^{2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x}}.\frac{1}{5}$
$\Leftrightarrow \left( 1+2+4 \right){{2}^{x}}=\left( 1+\frac{2}{5} \right){{.5}^{x}}\Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=\frac{7}{5}{{.5}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}=5\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{5}{2}}}5$
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $x={{\log }_{\frac{5}{2}}}5$.
| Bài tập 4: Giải các phương trình sau a) ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}$ b) ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{2}^{4x+4}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-2=4x+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=2$ và $x=-3$.
b) ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}\Leftrightarrow {{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}={{3}^{-5}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=-5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=5 \\\end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-1;x=5$
| Bài tập 5: Giải các phương trình sau a)${{16}^{\frac{x+10}{x-10}}}=0,{{125.8}^{\frac{x+5}{x-15}}}$ b) ${{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=2\left( {{5}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2}} \right)$ |
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-10\ne 0 \\ {} x-15\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 10 \\ {} x\ne 15 \\ \end{array} \right.$
Do $16={{2}^{4}};\,0,125=\frac{1}{8}={{2}^{-3}};\,8={{2}^{3}}$ nên ta có $PT\Leftrightarrow {{2}^{4.\frac{x+10}{x-10}}}={{2}^{-3}}{{.2}^{3.\frac{x+5}{x-15}}}\Leftrightarrow 4.\frac{x+10}{x-10}=-3+3.\frac{x+5}{x-15}$
$\Leftrightarrow \frac{4\left( x+10 \right)}{x-10}=\frac{60}{x-15}\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-5x-150 \right)=15x-150\to \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=20 \\\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm $x=0;x=20$.
b) ${{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=2\left( {{5}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2}} \right)\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3.3}^{{{x}^{2}}}}=\frac{2}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}={{3.3}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}=\frac{25}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\frac{125}{27}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( \frac{5}{3} \right)}^{3}}\to x=\pm \sqrt{3}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm \sqrt{3}$.
| Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a) ${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{9}{8} \right)}^{x}}=\frac{27}{64}$ b) ${{4.9}^{x-1}}=3\sqrt{{{2}^{2x+1}}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{9}{8} \right)}^{x}}=\frac{27}{64}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{3}.\frac{9}{8} \right)}^{x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}\to x=3$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=3$.
b) ${{4.9}^{x-1}}=3\sqrt{{{2}^{2x+1}}}\Leftrightarrow \frac{{{4.9}^{x-1}}}{{{3.2}^{\frac{2x+1}{2}}}}=1\Leftrightarrow {{3}^{2x-3}}{{.2}^{2-\frac{2x+1}{2}}}=1\Leftrightarrow {{3}^{2x-3}}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3-2x}}=1$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{2x-3}}=1={{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{0}}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{3}{2}$.
Cách khác: ${{4.9}^{x-1}}=3\sqrt{{{2}^{2x+1}}}\Leftrightarrow {{16.81}^{x-1}}={{9.2}^{2x+1}}\Leftrightarrow 16.\frac{{{81}^{x}}}{81}={{9.2.4}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{81}{4} \right)}^{x}}=\frac{18.81}{16}$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{9}{2} \right)}^{2x}}={{\left( \frac{9}{2} \right)}^{3}}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$.
| Bài tập 7: Giải các phương trình sau: a) ${{\left[ 2{{\left( {{2}^{\sqrt{x}+3}} \right)}^{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} \right]}^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}}=4$ b) ${{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{\left[ 2{{\left( {{2}^{\sqrt{x}+3}} \right)}^{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} \right]}^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}}=4$ , (1). Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.$
(1) $\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow \frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}=2\Leftrightarrow 2x-5\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=9$.
b) ${{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}$, (2).
Do $\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)=1\to \left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)=\frac{1}{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{-1}}$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{-6}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=3 \\ \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$ và $x=3$.
| Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
$PT\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{x+1}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{2}^{4x+4}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-2=4x+4$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
| Bài tập 9: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{{{x}^{2}}-x-1}}=\sqrt{2}+1$ là: A. $T=5$. B. $T=1$. C. $T=10$. D. $T=13$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{{{x}^{2}}-x-1}}={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{-1}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-1=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T={{0}^{2}}+{{1}^{2}}=1$. Chọn B.
| Bài tập 10: Tổng lập phương tất cả các nghiệm của phương trình ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}$ A. $T=124$. B. $T=125$. C. $T=126$. D. $T=26$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}={{3}^{-5}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=-5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow \left[\begin{array} {} x=-1 \\ {} x=5 \\ \end{array} \right.$
Do đó $T={{\left( -1 \right)}^{3}}+{{5}^{3}}=124$. Chọn A.
| Bài tập 11: Biết phương trình ${{4}^{x}}+{{4}^{x+1}}={{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}$ có nghiệm duy nhất là $x=a{{\log }_{2}}3+b{{\log }_{2}}5$ (trong đó $a;b\in \mathbb{Z}$). Giá trị của $T=a+b$ là: A. $T=0$. B. $T=1$. C. $T=-2$. D. $T=2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{4.4}^{x}}={{2}^{x}}+{{2.2}^{x}}\Leftrightarrow {{5.4}^{x}}={{3.2}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{3}{5}={{\log }_{2}}3-{{\log }_{2}}5$
Khi đó $a=1;b=-1\Rightarrow T=a+b=0$. Chọn A.
| Bài tập 12: Nghiệm của phương trình ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{5x+7}}$ là ${{x}_{0}}$ thì giá trị của $A={{x}_{0}}+{{3}^{{{x}_{0}}}}$ bằng A. $A=\frac{10}{3}$. B. $A=\frac{4}{3}$. C. $A=4$. D. $A=\frac{-2}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Do $\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)=1\Rightarrow 2-\sqrt{3}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}$
Ta có: ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{5x+7}}\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-5x-7}}\Leftrightarrow 3x+1=-5x-7\Leftrightarrow x=-1$
Vậy $A=-1+{{3}^{-1}}=\frac{-2}{3}$. Chọn D.
