§6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A. Kiến thức cần nhỏ Các bước giái bài toán bàng cách lập phương trình: Bưức 1: Lập phương trình: + Chọn án số và dặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. + Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập phương trình biếu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Chọn kết quả thích hợp với điều kiện của ẩn và trả lời. 3A-Để học..Toán 8/2 B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Một phân số có tử số nhó hơn mầu sò’ 8 đơn vị. Nếu thêm 12 đơn vị vào tử số và thêm 3 đơn vị vào mẩu số thì được phân số mới lớn hơn 3 5 phán sô' ban đầu là . Tun phân sô' ban dầu. 36 Giải : Gọi X là tú sô' của phân sô' ban đầu ta có thô lập dược phương x + 12 x__ 35 ”36' trình: x + 11 x+8 Điều kiện X eZ;x 7 -8: X * - .X + 12 X 35 36 Khi dó x + 11 x + 8 36[x+8][x + 12]-36x[x + l1] = 35[x + 8][x + 11] 36x2 + 720x + 3456-3ÓX2 -396.X = 35x2 + 665x + 3080 35.X2 + 341x -376 = 0 « 35x2 - 35x + 376x -376 = 0 X = 1 [thoámãn] [x - l][35x + 376] = 0 576 35 Ví dụ 2. Ví dụ 3. Phân sô' đã cho là Một mánh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4m. Nếu tăng mỗi chiều lên 4m thì diện tích của nó tăng thêm 96 m2 . Tim chiều dài' và chiều rộng của mánh đất đó. Giải: Gọi chiều rộng của mảnh đất là X [m] thì chiều dài là X + 4[m]. Theo bài ta có phương trình: [x + 4][x + 8]-x[x + 4] = 96. Suy ra X2 +12x + 32 - X2 -4x = 96 » 8x = 64 X = 8 . Vậy mảnh đất có chiều rộng 8m, chiều dài 12m. • Hai đội công nhân cùng làm xong một công việc hết 16 ngày. Hỏi nếu mỗi đội phải làm một mình thì mất bao nhiêu ngày mới xong cõng việc, biết rằng đê’ hoàn thành công việc một mình, đội 2 cần nhiều hơn đội 1 là 24 ngày? 3B-Để hoc..Toán 8/2 Giải Tlìừi gian hoàn thành Năng suất Đội 1 X 1 X Đội 2 X + 24 1 x + 24 Cả hai đội 16 1 16 Phương trình: — 4 —- - Ạ- x=24 X = -16. X X + 24 16 16[x + 24] + 16x = x[x + 24] X2 -8x-384 = 0 Vậy dội 1 làm một mình trong 24 ngày thì xong công việc; Đội 2 làm một mình trong 48 ngày thì xong công việc. c. Hưóng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa Bài 34. Giải : Gọi tử số của phân số là X thì mẫu số là X + 3 Phân sô mới là = — x + 5 2 Phân số ban đấu là — . 4 Bài 35. Giúi: Gọi số học sinh lóp 8A là X [x > 0, X e N ] thì Số học sinh giỏi học kì một là . 8 . X Số học sinh giỏi học kì hai là —+ 3. 8 Theo bài ra ta có phương trình: x + 7 8 = 20 X 100 => 100^ + 3 j = 20x => 5^ + 3^ = X => 5x +120 = 8x => X = 40. Số học sinh lớp 8A là 40 em. Bài 36. Đáp số: Đi-ô-phăng thọ 84 tuổi. D. Bài tạp luyện thêm Một ca nô đi xuôi từ A đến B với vận tốc trung bình là 36km/h, sau dó đi ngược [ừ B về A. Tính quãng đường AB, biết thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược 30 phút và vận tốc dòng nước là 6 km/h. Hai vòi nước cùng cháy vào một bế không có nước thì sau 6 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất cháy một mình trong 8 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu vòi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu mói đầy bê’ ? Hai tố công nhân được giao làm 1260 sán phẩm. Do tổ 1 tàng năng suất 20%, tổ 2 tăng năng suất 30% nên củ hai tổ đã làm được 1600 sản phẩm. Hỏi mỏi tố được giao bao nhiêu sán phẩm ? Một đội công nhân theo kế hoạch mỗi ngày phái làm được 500m đường. Nhưng thực tế đội đã làm được 550m mỗi ngày, nén không những đội hoàn thành kế hoạch trước thời hạn hai ngày mà còn vượt kế hoạch 100m. Tính quãng đường đội phải làm theo kế hoạch. Một miếng hợp kim đồng và thiếc có khối lượng 15 kg, chứa 42% đổng. Hỏi phái thêm vào bao nhiêu kg thiếc để được hợp kim có chứa 30% đồng ? Hướng dẫn - Đáp sô Vận tốc [kmlli] Tlìời gian [giờ] Quãng đường [km] Ca nô đi xuôi 36* X 36 X Ca nô đi ngược 36 - 2.6 = 24 - X 24 X Phương trình : tt-t^ = t«3x-2x = 36x = 36. 24 36 2 Quãng đường AB dài 36 km. Tlìời giun hoàn thành Nũng siuĩt Vòi I 8 1 8 Vòi II X 1 X Cá hai vòi 6 1 6 Ta có phương trình: — + — = — 6x + 48 = 8x X = 24. 8x6 Vậy vòi thứ hai chảy một mình trong 24 giờ mới đầy bể. Định mức Thực tế Tổ 1 X X + 20% X Tổ 2 1260-x [1260 - x] + 30%[ 1260-x] Cá 2 tổ 1260 1600 Phương trình: X +ị|^[1260-x] = 1600 120x + 130[l260-x] = 160000 100 100 7 ■ X = 380. Tổ 1 được giao 380 sản phẩm. Tổ 2 được giao 880 sản phẩm. 4. Gọi quãng đường đội phải làm theo kế hoạch là X [m], [x > 0]. Thời gian phai hoàn thành theo kế hoạch là - ngày. ■ 500 Thực tế đội đã làm được X +100 mét một ngày. Thời gian thưc tê' đội làm là ngày • 550 . Do dội thợ làm xong trước thời hạn 2 ngày nên ta có phương trình: —-~^ = 2«llx-10[x+ 100] = 11000« X = 12000. 500 550 v Vậy đội phải làm theo kế hoạch là 12000m. 5. Gọi X [kg] là khối lượng thiếc cần phải thêm vào [x > 0]. 42 Khối lương đồng có trong hợp kim ban đầu là: 15.-77- = 6,3 [kg]. 100 Khối lượng thiếc có trong hợp kim ban đầu là: 15-6,3 = 8,7 [kg]. Khối lượng hợp kim mới là: 15 + X . Khối lượng thiếc có trong hợp mới là: X + 8,7 . Theo bài ra ta có: ^^4 = -^-«10[x + 8,7] = 7[x + 15]«3x = 18«x = 6. x + 15 100 v v ’ Vậy cần thêm 6 kg thiếc vào hợp kim ban đầu.
§6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Lập phương trình để giải một bài toán như thế nào ? \ > Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một trong các đại lượng ấy là X thì các đại lượng khác có thể được biểu diễn dưới dạng một biểu thức của biến X. Ví dụ 1. Gọi X [km/h] là vận tốc của một ôtô. Khi đó : Quãng đường ôtô đi được trong 5 giờ là 5x [km]. Thời gian để ôtô đi được quãng đường 100km là —— [h]. biến X biểu thị: Quãng đường Tiên chạy được trong X phút, nếu chạy với vận tốc trung bình là 180mlph. ?2 Vận tốc trung bình của Tiêh [tính theo km/h], nếu trong X phút Tiến chạy được quãng đường là 4500m. Gọi X là số tự nhiên có hai chữ số [ví dụ X = 12]. Hãy lập biểu thức biểu thị số tự nhiên có được bằng cách : Viết thêm chữ số 5 vào bên trái sốX [ví dụ : 12 —> 512, tức là 500 + 12] ; Viết thêm chữ số5 vào bên phải sốx [ví dụ : 12 -r 125, tức là 12 xio + 5]. Ví dụ về giải bài toán bằng cách lập phương trình Ví dụ 2 [Bài toán cổ]. Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó ? Giải : Gọi X là số gà, với điều kiện X phải là số nguyên dương và nhỏ hơn 36. Khi đó số chân gà là 2x. Vì cả gà lẫn chó có 36 con nên số chó là 36 - X và số chân chớ là 4[36 - x]. Tổng số chân là 100 nên ta có phương trình : 2x + 4[36-x]= 100. Giải phương trình trên : 2x + 4[36 - x] = 100 o 2x + 144 - 4x = 100 44 = 2x X = 22. Kiểm tra lại, ta thấy X = 22 thoả mãn các điều kiện của ẩn. Vậy số gà là 22 [con]. Từ đó suy ra số chó là 36 - 22 - 14 [con]. Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Bước 1. Lập phương trình : Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số ; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Giải bài toán trong Ví dụ 2 bằng cách chọn X là số chó. BÀI TẬP Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng . Tìm phân số ban đầu. Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng số học sinh cả lớp. Sang 8 học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh ? [Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi-ô-phăng, lấy trong Hợp tuyển Hi Lạp - Cuốn sách gồm 46 bài toán về số, viết dưới dạng thơ trào phúng]. Thời thơ ấu của Đi-ô-phăng chiếm cuộc đời -4 cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi 12 Thêm ệ- cuộc đời nữa ông sống độc thân Sau khi lập gia đình được 5 năm thì sinh một con trai Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất Đi-ô-phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra ? Có thể em chưa biết Người ta gọi ông là Đi-ô-phăng [Diophantos] của vùng A-lếch-xăng-đri-a [Ai Cập] mà không biết rõ về năm sinh và quốc tịch của ông. Nhiều tài liệu cho rằng ông sống vào thế kỉ III [khoảng năm 250]. Ông là người có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của Đại số và Sô' học. Công trình quan trọng nhất của ông là bộ sách Arithmetica [Số học]. Bộ sách phân tích lí thuyết đại số về số và nói về cách giải khoảng 130 bài toán. Phần lớn các bài toán này đều dẫn đến phương trình bậc nhất và bậc hai, đặc biệt là các phương trình vô định [tức là các phương trình có nhiều hơn một ẩn số]. Ngày nay, thuật ngữ phương trình Đi-ô-phăng được dùng để chỉ các phương trình vô định mà ta chỉ quan tâm đến các nghiệm nguyên của chúng mà thôi. Đi-ô-phăng cũng là người sớm dùng kí hiệu £, [đọc là zêta] để chỉ sô' chưa biết với ghi chú rằng các chữ cái Hi Lạp khác cũng có thể dùng như vậy.
Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
- Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 8
- Đề Kiểm Tra Toán Lớp 8
- Sách Giáo Khoa Toán lớp 8 tập 1
- Sách Giáo Khoa Toán lớp 8 tập 2
- Sách Giáo Viên Toán Lớp 8 Tập 1
- Sách Bài Tập Toán Lớp 8 Tập 2
Sách giải toán 8 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 6 trang 24: Giả sử hằng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy. Hãy viết biểu thức với biến x biểu thị:
a] Quãng đường Tiến chạy được trong x phút, nếu chạy với vận tốc trung bình là 180m/ph.
b] Vận tốc trung bình của Tiến [tính theo km/h], nếu trong x phút Tiến chạy được quãng đường là 4500m.
Lời giải
a] Quãng đường Tiến chạy được là 180x [m]
b] Vận tốc trung bình của Tiến là: 4500/x [m/h]
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 6 trang 24: Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số [ví dụ x = 12]. Hãy lập biểu thức biểu thị số tự nhiên có được bằng cách:
a] Viết thêm chữ số 5 vào bên trái số x [ví dụ 12 → 512, tức là 500 + 12];
b] Viết thêm chữ số 5 vào bên phải số x [ví dụ 12 → 125, tức là 12 x 10 + 5].
Lời giải
a] số tự nhiên mới là: 5. 100 + x
b] số tự nhiên mới là: 10x + 5
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 6 trang 25: Giải bài toán trong Ví dụ 2 bằng cách chọn x là số chó.
Lời giải
Gọi số x là chó, với điều kiện x là số nguyên dương và nhỏ hơn 36
Khi đó, số chân chó là 4x
Vì cả gà và chó là 36 con nên số gà là 36 – x và số chân gà là 2[36 – x]
Tổng số chân là 100 nên ta có phương trình:
4x + 2[36 – x] = 100
⇔ 4x + 72 – 2x = 100
⇔ 2x = 28
⇔ x = 14 [thỏa mãn các điều kiện của ẩn]
Vậy số chó là 14[con]
⇒ Số gà là: 36 – 14 = 22[con]
Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 34 [trang 25 SGK Toán 8 tập 2]: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng 1/2. Tìm phân số ban đầu.
Lời giải:
Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 35 [trang 25 SGK Toán 8 tập 2]: Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng 1/8 số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thàng học sinh giởi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?
Lời giải:
Gọi số học sinh của lớp 8A là x [x > 0].
Số học sinh giỏi của học kì I là : x/8.
Số học sinh giỏi của học kì II là : 20%.x = x/5.
Vì số học sinh giỏi của học kì II nhiều hơn số HSG của học kì I 3 học sinh nên ta có :
x/5 – x/8 = 3
⇔ 3x/40 = 3
⇔ x = 40. [thỏa mãn đk]
Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh.
Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh.
Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 36 [trang 26 SGK Toán 8 tập 2]: [Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi-ô-phăng, lấy trong Hợp tuyển Hy Lạp – Cuốn sách gồm 46 bài toán về số, viết dưới dạng thơ trào phúng].
Lời giải:
Gọi x là số tuổi của ông Đi-ô-phăng [x > 0, x ∈ N].
⇔14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x
⇔75x + 756 = 84x
⇔9x = 756
⇔x = 84
Vậy nhà toán học Đi-ô-phăng thọ 84 tuổi.