\[\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\\ \Rightarrow {40^0} + \widehat B + {50^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat B = {180^0} - {90^0}\\ \Rightarrow \widehat B = {90^0}\end{array}\]
Tam giác ABC vuông tại B
- Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác DEF, ta có:
\[\begin{array}{l}\widehat D + \widehat E + \widehat F = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat D + {55^0} + {65^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat D = {180^0} - {120^0}\\ \Rightarrow \widehat D = {60^0} < {90^0}\end{array}\]
Vậy tam giác DEF nhọn vì cả ba góc đều nhỏ hơn 90 độ.
- Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác MNP, ta có:
\[\begin{array}{l}\widehat M + \widehat N + \widehat P = {180^0}\\ \Rightarrow {50^0} + \widehat N + {30^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat N = {180^0} - {80^0}\\ \Rightarrow \widehat N = {100^0} > {90^0}\end{array}\]
Phương pháp:
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Xét \[ΔACD \] và \[ ΔDBA\] có:
\[AD\] cạnh chung
\[AC=DB\] [gt]
- Thêm điều kiện \[\widehat {ADC} = \widehat {DAB}\] thì ta không thể kết luận \[ΔACD = ΔDBA\].
Vì \[\widehat {ADC}\] không xen giữa hai cạnh \[AD\] và \[AC\].
- Thêm điều kiện \[\widehat {ACD} = \widehat {DBA}\] thì ta không thể kết luận \[ΔACD = ΔDBA\].
Vì \[\widehat {ACD}\] không xen giữa hai cạnh \[AD\] và \[AC\].
- Thêm điều kiện \[\widehat {CAD} = \widehat {BDA}\] ta kết luận \[ΔACD = ΔDBA\] [c.g.c].
- Thêm điều kiện \[CD=BA\] ta kết luận \[ΔACD = ΔDBA\] [c.c.c].
Bài 4.2
Cho hai đoạn thẳng \[AB\] và \[CD\] vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Kẻ các đoạn thẳng \[AC, CB, BD, DA.\] Tìm các tia phân giác của các góc [khác góc bẹt] trên hình.
Phương pháp:
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
* Xét \[\Delta ACI \] và \[ \Delta BCI\] có:
\[AI=BI\] [\[I\] là trung điểm của \[AB\]]
\[CI\] chung
\[\widehat {AIC} = \widehat {BIC}=90^o\]
\[ \Rightarrow \Delta ACI = \Delta BCI\] [c.g.c]
\[ \Rightarrow \widehat {ACI} = \widehat {BCI}\] [hai góc tương ứng]
Vậy \[CD\] là tia phân giác của \[\widehat {ACB}\].
* Xét \[\Delta ADI \] và \[ \Delta BDI\] có:
\[AI=BI\] [\[I\] là trung điểm của \[AB\]]
\[DI\] chung
\[\widehat {AID} = \widehat {BID}=90^o\]
\[ \Rightarrow \Delta ADI = \Delta BDI\] [c.g.c]
\[ \Rightarrow \widehat {ADI} = \widehat {BDI}\] [hai góc tương ứng]
Vậy \[DC\] là tia phân giác của \[\widehat {ADB}\].
*Xét \[\Delta ACI \] và \[ \Delta ADI\]
\[AI\] chung
\[CI=DI\] [\[I\] là trung điểm của \[CD\]]
\[\widehat {AIC} = \widehat {AID}=90^o\]
\[ \Rightarrow \Delta ACI = \Delta ADI\] [c.g.c]
\[ \Rightarrow \widehat {CAI} = \widehat {DAI}\] [hai góc tương ứng].
Vậy \[AB\] là tia phân giác của \[\widehat {CAD}\].
Bài 4.3
Cho tam giác nhọn \[ABC\], \[M\] là trung điểm của \[BC.\] Đường vuông góc với \[AB\] tại \[B\] cắt đường thẳng \[AM\] tại \[D.\] Trên tia \[MA\] lấy điểm \[E\] sao cho \[ME = MD.\] Chứng minh rằng \[CE\] vuông góc với \[AB\].
Phương pháp:
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Xét \[ΔBMD\] và \[ΔCME\] có:
\[BM = MC\]
\[ME = MD\]
\[\widehat {BMD} = \widehat {CME}\] [hai góc đối đỉnh]
\[⇒ ΔBMD = ΔCME\] [c.g.c]
\[⇒ \widehat D = \widehat {MEC}\] [hai góc tương ứng]
Mà \[\widehat D \] và \[ \widehat {MEC}\] ở vị trí so le trong nên \[BD // CE.\]
Ta có \[AB ⊥\, BD, BD // CE\] nên \[AB ⊥ CE.\]
Bài 4.4
Cho tam giác \[ABC\] có \[\widehat A = {110^o}\], \[M\] là trung điểm của \[BC.\] Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[K\] sao cho \[MK = MA.\]
- Tính số đo của góc \[ACK.\]
- Vẽ về phía ngoài của tam giác \[ABC\] các đoạn thẳng \[AD, AE\] sao cho \[AD\] vuông góc với \[AB\] và \[AD = AB, AE\] vuông góc với \[AC\] và \[AE = AC.\] Chứng minh rằng \[ΔCAK = ΔAED\].
- Chứng minh rằng \[MA\] vuông góc với \[DE.\]
Phương pháp:
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Tổng các góc của một tam giác bằng \[180^o\].
- Xét \[ΔAMB\] và \[ΔKMC\] có:
\[AM = MK\] [gt]
\[BM = MC\] [vì \[M\] là trung điểm của \[BC\]]
\[\widehat {AMB} = \widehat {KMC}\] [hai góc đối đỉnh]
\[⇒ ΔAMB = ΔKMC\] [c.g.c]
\[⇒ \widehat {BAM} = \widehat {CKM}\] [hai góc tương ứng].
Mà \[\widehat {BAM} \] và \[ \widehat {CKM}\] ở vị trí so le trong nên \[ CK // AB\].
\[\widehat {ACK} + \widehat {BAC} = {180^o}\] [hai góc trong cùng phía]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {ACK} = {180^o} - \widehat {BAC}\\ \Rightarrow \widehat {ACK} = {180^o} - {110^o} = {70^o}\end{array}\]
- Ta có: \[\widehat {DAE} + \widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} \]\[\,= {360^o}\]
Mà \[\widehat {DAB} = \widehat {CAE} = {90^o};\widehat {BAC} = {110^o}\]
\[\widehat {DAE} = {360^o} - {90^o} - {90^o} - {110^o}\]\[\, = {70^o}\]
\[⇒ \widehat {DAE} = \widehat {KCA}\].
Xét \[ΔCAK\] và \[ΔAED\] có:
\[AC = AE\] [gt]
\[ \widehat {KCA}=\widehat {DAE} \] [chứng minh trên]
\[CK = AD\] [cùng bằng \[AB\]]
\[⇒ ΔCAK = ΔAED\] [c.g.c]
- Gọi \[H\] là giao điểm của \[MA\] và \[DE.\]
\[ΔCAK = ΔAED\] suy ra \[\widehat {{A_1}} = \widehat E\] [hai góc tương ứng].
Ta lại có \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^o}\] \[ \Rightarrow \widehat {{A_2}} + \widehat E = {90^o}\]
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \[\Delta AHE\], ta có:
\[\begin{array}{l}\widehat {{A_2}} + \widehat E + \widehat {AHE} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AHE} = {180^o} - \left[ {\widehat {{A_2}} + \widehat E} \right]\\ \Rightarrow \widehat {AHE} = {180^o} - {90^o}\\ \Rightarrow \widehat {AHE} = {90^o}\end{array}\]